Correction - Exercice 14 page 35 - Théorème de Thalès et sa réciproque

1ère année secondaire

Théorème de Thalès et sa réciproque

Exercice 14 page 35

ٍSoit \(D\) une droite munie d'un repère \((O, I)\) et les points \(A\), \(B\) et \(C\) d'abscisses respectives \(a\), \(b\) et \(c\) avec \(a\), \(b\) et \(c\) des réels strictement positifs.

1- 
a) Traçons une droite \(\Delta \) sécante à \(D\) en \(O\).

b) Soit \((O, J)\) un repère de \(\Delta \) tel que \(OI=OJ\).

Plaçons le point \(N\) sur \(\Delta \) d'abscisse \(c\).

2- Soit \(M\) l'intersection de \(\Delta \) avec la droite parallèle à \((BN)\) passant par \(A\).

a) Calculons \(\frac{ON}{OM}\).

D'après le théorème de Thalès et dans le triangle \(ONB\) on a :

\(\frac{ON}{OM}\) \(=\) \(\frac{OC}{OA}\) \(=\) \(\frac{b}{a}\).

b) Déduisons un segment de longueur \(\frac{ac}{b}\).

On a : \(\frac{ON}{OM}\) \(=\) \(\frac{b}{a}\).

C'est à dire : \(OM=\)\(\frac{a\times {\color{Magenta} {ON}}}{b}\)

Et puisque : \(N\) d'abscisse \(c\) alors \(ON=c\)

Donc : \(OM=\)\(\frac{a\times {\color{Magenta}c }}{b}\)

Conclusion :
\(OM=\)\(\frac{ac}{b}\)

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Cours - Théorème de Thalès et sa réciproque

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