Correction - Exercice 15 page 35 - Théorème de Thalès et sa réciproque
Plaçons le point \(B\) sur \((D)\) et le point \(C\) sur \((D')\) tels que \(BC = 5cm\).
1- La construction est possible que lorsque \(OB\leqslant5\)
2- Soit \(I\) le milieu de \([BC]\).
a) Calculons \(OI\) et en déduisons sur quelle ligne fixe se déplace \(I\) lorsque le point \(B\) varie sur \((D)\).
On a OBC un triangle rectangle en O, alors le milieu I de son hypoténuse BC est le centre du cercle circonscrit.
D'où \(OI=CI=BI=\)\(\frac{BC}{2}\)\(=\)\(\frac{5}{2}\)\(cm\).
Et par la suite lorsque le point \(B\) varie sur \((D)\), \(I\) se déplace sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(\frac{5}{2}\)\(cm\).
b) Soit \(G\) le point d'intersection de la droite parallèle à \((D')\) passant par \(B\) avec \((OI)\).
Calculons \(OG\) et en déduisons sur quelle ligne fixe se déplace le point \(G\) lorsque \(B\) varie sur \((D)\).
On a :
\(IC=IB\) (\(I\) milieu de \(BC\))
\(\widehat{C I O}=\widehat{G I B}\) (Deux angles opposés par le sommet)
\(\widehat{O C I}=\widehat{G B I}\) (Deux angles alternes internes)
D'où les deux triangles \(ICO\) et \(IBG\) sont isométriques
Ce qui signifie que \(IG=IO=BI=\)\(\frac{5}{2}\)\(cm\).
Et par la suite \(OG=5cm\).
Donc lorsque le point \(B\) varie sur \((D)\), \(G\) se déplace sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(5cm\).
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