Correction - Exercice 02 page 147 - Activités numériques I

1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice 02 page 147

a) Déterminons le PGCD ($4998$,$4116$) par la méthode de décomposition en facteurs premiers.

On décompose en facteur premier :

$4998$$|$$2$
$2499$$|$$3$
  $833$$|$$7$
  $119$$|$$7$
    $17$$|$$17$
      $1$$|$

Alors

$4998$$=$$2\times3\times7\times7\times17$

D'où

$4998$$=$$2\times3\times7^2\times17$

$4116$$|$$2$
$2058$$|$$2$
$1029$$|$$3$
  $343$$|$$7$
    $49$$|$$7$
      $7$$|$$7$
      $1$$|$

Alors $4116$$=$$2\times2\times3\times7\times7\times7$
D'où $4116$$=$$2^2\times3\times7^3$

Donc : 

$4998$$=$$2\times3\times7^2\times17$
et

$4116$$=$$2^2\times3\times7^3$

Conclusion : 

Le PGCD($4998$, $4116$)$=$$2\times3\times7^2$$=$$294$.

b) Déterminons le PGCD ($4998$,$4116$) par l'algorithme d'Euclide.

$4998=$ ? $\times$$4116$$+$ ?

$4998=$ $1$ $\times$$4116$$+$$882$

$4116=$ ? $\times$$882$$+$ ?

$4116=$ $4$ $\times$$882$$+$$588$

$882=$ ? $\times$$588$$+$ ?

$882=$ $1$ $\times$$588$$+$$294$

$588=$ ? $\times$$294$$+$ ?

$588=$ $2$ $\times$$294$$+$$0$

Et puisque le dernier reste différent de $0$ est $294$.

Donc : Le PGCD($4998$, $4116$)$=$$294$.

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