Correction - Exercice 02 page 147 - Activités numériques I

1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice 02 page 147

a) Déterminons le PGCD (\(4998\),\(4116\)) par la méthode de décomposition en facteurs premiers.

On décompose en facteur premier :

\(4998\)\(|\)\(2\)
\(2499\)\(|\)\(3\)
  \(833\)\(|\)\(7\)
  \(119\)\(|\)\(7\)
    \(17\)\(|\)\(17\)
      \(1\)\(|\)

Alors

\(4998\)\(=\)\(2\times3\times7\times7\times17\)

D'où

\(4998\)\(=\)\(2\times3\times7^2\times17\)

\(4116\)\(|\)\(2\)
\(2058\)\(|\)\(2\)
\(1029\)\(|\)\(3\)
  \(343\)\(|\)\(7\)
    \(49\)\(|\)\(7\)
      \(7\)\(|\)\(7\)
      \(1\)\(|\)

Alors \(4116\)\(=\)\(2\times2\times3\times7\times7\times7\)
D'où \(4116\)\(=\)\(2^2\times3\times7^3\)

Donc : 

\(4998\)\(=\)\(2\times3\times7^2\times17\)
et

\(4116\)\(=\)\(2^2\times3\times7^3\)

Conclusion : 

Le PGCD(\(4998\), \(4116\))\(=\)\(2\times3\times7^2\)\(=\)\(294\).

b) Déterminons le PGCD (\(4998\),\(4116\)) par l'algorithme d'Euclide.

\(4998=\) ? \(\times\)\(4116\)\(+\) ?

\(4998=\) \(1\) \(\times\)\(4116\)\(+\)\(882\)

\(4116=\) ? \(\times\)\(882\)\(+\) ?

\(4116=\) \(4\) \(\times\)\(882\)\(+\)\(588\)

\(882=\) ? \(\times\)\(588\)\(+\) ?

\(882=\) \(1\) \(\times\)\(588\)\(+\)\(294\)

\(588=\) ? \(\times\)\(294\)\(+\) ?

\(588=\) \(2\) \(\times\)\(294\)\(+\)\(0\)

Et puisque le dernier reste différent de \(0\) est \(294\).

Donc : Le PGCD(\(4998\), \(4116\))\(=\)\(294\).

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