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Cours - Activités numériques I - 1ère année secondaire


Cours - Activités numériques I - 1ère année secondaire


1ère année secondaire

Activités numériques I

Cours

Autour des nombres
* Un entier naturel \(\mathbb N\) est un nombre entier non précédé de signes. 
Ex : \(9\) ; \(11\) ; \(100\)

* Un entier relatif \(\mathbb Z\) est un nombre entier précédé de signes. 
Ex : \(9\) ; \(-9\) ; \(11\) ; \(-11\) ; \(100\) ; \(-100\)

* Un nombre décimal \(\mathbb D\) est le produit d'un entier et d'une puissance de dix
Ex : \(5,23\) \(=\) \(523\) \(\times\) \(10^{-2}\)

* Un nombre rationnel \(\mathbb Q\) est un nombre qui peut s'écrire comme le quotient de deux entiers. 
- Ex : \(17,9\) \(=\) \(179\over10\)   
A noter : Tout décimal st un rationnel.

- Ex : \(1\over7\)  ; \(2\over9\)    
A noter : Certains rationnels ne sont pas décimaux.    

* Un nombre irrationnel \(\mathbb Q\)\('\) est un nombre non rationnel. 
Ex : \(\pi\) ; \(\sqrt3\)


Multiples et diviseurs
* Soit \(a\) et \(b\) deux entiers tel que \(b\) \(\neq\) \(0\)
\(a\) est un multiple de \(b\) équivaut à
Il existe un entier \(k\) tel que \(a\) \(=\) \(k.b\)   (\(b\) est un diviseur de \(a\))

Ex : \(6=2\times3\) alors 

\(6\) est multiple de \(3\) ainsi que \(6\) est multiple de \(2\) 

\(3\) est diviseur de \(6\) ainsi que \(2\) est diviseur de \(6\) 



Critère de divisibilité
* Un entier est divisible par \(2\) si son chiffre des unité est \(0\)\(2\)\(4\)\(6\) ou \(8\).

Ex : \(2\)\(6\) est divisible par \(2\) puisque le chiffre de l'unité de ce nombre est \(6\). 


Un entier est divisible par \(3\) si la somme des chiffres de l'entier est un multiple de \(3\).

Ex : \(63\) est divisible par \(3\) puisque la somme de \(6+3=\)\(9\) et \(9\) est un multiple de \(3\). 


Un entier est divisible par \(9\) si la somme des chiffres de l'entier est un multiple de \(9\).

Ex : \(99\) est divisible par \(9\) puisque la somme de \(9+9=\)\(18\) et \(18\) est un multiple de \(9\).


Ex : \(135\) est divisible par \(9\) puisque la somme de \(1+3+5=\)\(9\) et \(9\) est un multiple de \(9\).

* Un entier est divisible par \(5\) si son chiffre des unité est \(0\) ou \(5\).

Ex : \(345\)\(0\) est divisible par \(5\) puisque le chiffre de l'unité de ce nombre est \(0\). 


Ex : \(13\)\(5\) est divisible par \(5\) puisque le chiffre de l'unité de ce nombre est \(5\). 

* Un entier est divisible par \(4\) si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de \(4\).

Ex : \(12\)\(40\) est divisible par \(4\) puisque \(40\) est divisible par \(4\). 


Ex : \(2\)\(36\) est divisible par \(4\) puisque \(36\) est divisible par \(4\). 



Nombres premier
* Un nombre premier est nombre entier qui ne peut être divisé que par \(1\) et par lui-même.

Ex : \(2\),\(3\)\(5\)\(7\)\(11\) ,\(13\)\(17\)\(19\)\(23\) ,...,\(73\)\(79\)\(83\),.... 




PGCD et PPCM
* Le PGCD (Plus grand commun diviseur) de deux nombre est le plus grand des diviseurs en commun.

Ex : Calculer le PGCD des nombres \(556\) et \(148\).

Méthode 1 : 
On décompose en facteur premier :

\(556\)\(|\)\(2\)
\(278\)\(|\)\(2\)
\(139\)\(|\)\(139\)
\(00\)\(1\)\(|\)

Alors \(556\)\(=\)\(2\times2\times139\)
D’où \(556\)\(=\)\(2^2\)\(\times139\)

\(148\)\(|\)\(2\)
\(0\)\(74\)\(|\)\(2\)
\(0\)\(37\)\(|\)\(37\)
\(00\)\(1\)\(|\)

Alors \(148\)\(=\)\(2\times2\times37\)
D’où \(148\)\(=\)\(2^2\)\(\times37\)

Donc : 
\(556\)\(=\)\(2^2\)\(\times139\)
\(148\)\(=\)\(2^2\)\(\times37\)

Conclusion : le PGCD(\(556\),\(148\))\(=\)\(2^2\)\(=\)\(4\)

Méthode 2 : 
On utilise l'algorithme d'Euclide :

\(556=\) ? \(\times\)\(148\)\(+\) ?
\(556=\) \(3\) \(\times\)\(148\)\(+\)\(112\)

\(148=\) ? \(\times\)\(112\)\(+\) ?
\(148=\) \(1\) \(\times\)\(112\)\(+\)\(36\)

\(112=\) ? \(\times\)\(36\)\(+\) ?
\(112=\) \(3\) \(\times\)\(36\)\(+\)\(4\)

\(36=\) ? \(\times\)\(4\)\(+\) ?
\(36=\) \(9\) \(\times\)\(4\)\(+\)\(0\)

Et puisque le dernier reste non nul est \(4\)
Donc le PGCD(\(556\),\(148\))\(=\)\(4\)


* Le PPCM (Plus petit commun multiple) de deux nombre est le plus petit des multiples en commun.

Ex : Calculer le PPCM des nombres \(556\) et \(148\).


On utilisons le résultat de la méthode 1 qu'on a trouvé précédemment :



\(556\)\(=\)\(2^2\)\(\times139\)
\(148\)\(=\)\(2^2\)\(\times37\)

Le PPCM(\(556\),\(148\))\(=\)\(2^2\)\(\times\)\(139\)\(\times\)\(37\)


C-à-d : 

Le PPCM(\(556\),\(148\))\(=\)\(4\)\(\times\)\(139\)\(\times\)\(37\)



Calcul sur les nombres rationnels

* Une fraction est irréductible lorsqu'elle est simplifiée au maximum, et pour rendre une fraction irréductible, on doit calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis on simplifie par le PGCD trouvé.

Ex : Mettre sous forme irréductible la fraction \(360\over500\).



On décompose en facteur premier :

\(360\)\(|\)\(2\)
\(180\)\(|\)\(2\)
\(0\)\(90\)\(|\)\(2\)
\(0\)\(45\)\(|\)\(3\)
\(0\)\(15\)\(|\)\(3\)
\(00\)\(5\)\(|\)\(5\)
\(00\)\(1\)\(|\)

Alors  \(360\)\(=\)\(2^3\)\(\times\)\(3^2\)\(\times\)\(5\)

\(500\)\(|\)\(2\)
\(250\)\(|\)\(2\)
\(125\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(25\)\(|\)\(5\)
\(00\)\(5\)\(|\)\(5\)
\(00\)\(1\)\(|\)

Alors  \(500\)\(=\)\(2^2\)\(\times\)\(5^3\)


Donc : 
\(360\)\(=\)\(2^3\)\(\times\)\(3^2\)\(\times\)\(5\)
\(500\)\(=\)\(2^2\)\(\times\)\(5^3\)

Conclusion : le PGCD(\(360\),\(500\))\(=\)\(2^2\)\(\times\)\(5\)\(=\)\(4\)\(\times\)\(5\)\(=\)\(20\).

On revient a notre fraction et on simplifie par 20, on trouve :

\(360\over500\)\(=\)\(360:20\over500:20\)\(=\)\(18\over25\)

Proportionnalité
\(a\)\(b\)\(x\) et \(y\) sont des réels (avec \(x\) et \(y\) non nuls)
\(a\) et \(b\) sont proportionnels à \(x\) et \(y\) signifie que \(a\over{x}\)\(=\)\(b\over{y}\).






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