Cours - Activités numériques I - 1ère année secondaire
Autour des nombres
* Un entier naturel \(\mathbb N\) est un nombre entier non précédé de signes.
Ex : \(9\) ; \(11\) ; \(100\)
* Un entier relatif \(\mathbb Z\) est un nombre entier précédé de signes.
Ex : \(9\) ; \(-9\) ; \(11\) ; \(-11\) ; \(100\) ; \(-100\)
* Un nombre décimal \(\mathbb D\) est le produit d'un entier et d'une puissance de dix.
Ex : \(5,23\) \(=\) \(523\) \(\times\) \(10^{-2}\)
* Un nombre rationnel \(\mathbb Q\) est un nombre qui peut s'écrire comme le quotient de deux entiers.
- Ex : \(17,9\) \(=\) \(179\over10\)
A noter : Tout décimal st un rationnel.
- Ex : \(1\over7\) ; \(2\over9\)
A noter : Certains rationnels ne sont pas décimaux.
* Un nombre irrationnel \(\mathbb Q\)\('\) est un nombre non rationnel.
Ex : \(\pi\) ; \(\sqrt3\)
Multiples et diviseurs
* Soit \(a\) et \(b\) deux entiers tel que \(b\) \(\neq\) \(0\)
\(a\) est un multiple de \(b\) équivaut à
Il existe un entier \(k\) tel que \(a\) \(=\) \(k.b\) (\(b\) est un diviseur de \(a\))Ex : \(6=2\times3\) alors
\(6\) est multiple de \(3\) ainsi que \(6\) est multiple de \(2\)
\(3\) est diviseur de \(6\) ainsi que \(2\) est diviseur de \(6\)
Critère de divisibilité
* Un entier est divisible par \(2\) si son chiffre des unité est \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) ou \(8\).
Ex : \(2\)\(6\) est divisible par \(2\) puisque le chiffre de l'unité de ce nombre est \(6\).
Ex : \(63\) est divisible par \(3\) puisque la somme de \(6+3=\)\(9\) et \(9\) est un multiple de \(3\).
Ex : \(99\) est divisible par \(9\) puisque la somme de \(9+9=\)\(18\) et \(18\) est un multiple de \(9\).
Ex : \(345\)\(0\) est divisible par \(5\) puisque le chiffre de l'unité de ce nombre est \(0\).
Ex : \(12\)\(40\) est divisible par \(4\) puisque \(40\) est divisible par \(4\).
Nombres premier
* Un nombre premier est nombre entier qui ne peut être divisé que par \(1\) et par lui-même.
Ex : \(2\),\(3\), \(5\), \(7\), \(11\) ,\(13\), \(17\), \(19\), \(23\) ,...,\(73\), \(79\), \(83\),....
PGCD et PPCM
* Le PGCD (Plus grand commun diviseur) de deux nombre est le plus grand des diviseurs en commun.
Ex : Calculer le PGCD des nombres \(556\) et \(148\).
Méthode 1 :
On décompose en facteur premier :
\(556\)\(|\)\(2\)
\(278\)\(|\)\(2\)
\(139\)\(|\)\(139\)
\(00\)\(1\)\(|\)
Alors \(556\)\(=\)\(2\times2\times139\)
D’où \(556\)\(=\)\(2^2\)\(\times139\)
\(148\)\(|\)\(2\)
\(0\)\(74\)\(|\)\(2\)
\(0\)\(37\)\(|\)\(37\)
\(00\)\(1\)\(|\)
Alors \(148\)\(=\)\(2\times2\times37\)
D’où \(148\)\(=\)\(2^2\)\(\times37\)
Donc :
\(556\)\(=\)\(2^2\)\(\times139\)
\(148\)\(=\)\(2^2\)\(\times37\)
Conclusion : le PGCD(\(556\),\(148\))\(=\)\(2^2\)\(=\)\(4\)
Méthode 2 :
On utilise l'algorithme d'Euclide :
\(556=\) ? \(\times\)\(148\)\(+\) ?
\(556=\) \(3\) \(\times\)\(148\)\(+\)\(112\)
\(148=\) ? \(\times\)\(112\)\(+\) ?
\(148=\) \(1\) \(\times\)\(112\)\(+\)\(36\)
\(112=\) ? \(\times\)\(36\)\(+\) ?
\(112=\) \(3\) \(\times\)\(36\)\(+\)\(4\)
\(36=\) ? \(\times\)\(4\)\(+\) ?
\(36=\) \(9\) \(\times\)\(4\)\(+\)\(0\)
Et puisque le dernier reste non nul est \(4\)
Donc le PGCD(\(556\),\(148\))\(=\)\(4\)
* Le PPCM (Plus petit commun multiple) de deux nombre est le plus petit des multiples en commun.
Ex : Calculer le PPCM des nombres \(556\) et \(148\).
On utilisons le résultat de la méthode 1 qu'on a trouvé précédemment :
\(556\)\(=\)\(2^2\)\(\times139\)
\(148\)\(=\)\(2^2\)\(\times37\)
Le PPCM(\(556\),\(148\))\(=\)\(2^2\)\(\times\)\(139\)\(\times\)\(37\)
C-à-d :
Le PPCM(\(556\),\(148\))\(=\)\(4\)\(\times\)\(139\)\(\times\)\(37\)
Le PPCM(\(556\),\(148\))\(=\)\(2^2\)\(\times\)\(139\)\(\times\)\(37\)
C-à-d :
Le PPCM(\(556\),\(148\))\(=\)\(4\)\(\times\)\(139\)\(\times\)\(37\)
Calcul sur les nombres rationnels
Ex : Mettre sous forme irréductible la fraction \(360\over500\).
On décompose en facteur premier :
\(360\)\(|\)\(2\)
\(180\)\(|\)\(2\)
\(0\)\(90\)\(|\)\(2\)
\(0\)\(45\)\(|\)\(3\)
\(0\)\(15\)\(|\)\(3\)
\(00\)\(5\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(45\)\(|\)\(3\)
\(0\)\(15\)\(|\)\(3\)
\(00\)\(5\)\(|\)\(5\)
\(00\)\(1\)\(|\)
Alors \(360\)\(=\)\(2^3\)\(\times\)\(3^2\)\(\times\)\(5\)
\(500\)\(|\)\(2\)
\(250\)\(|\)\(2\)
\(125\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(25\)\(|\)\(5\)
\(00\)\(5\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(25\)\(|\)\(5\)
\(00\)\(5\)\(|\)\(5\)
\(00\)\(1\)\(|\)
Alors \(500\)\(=\)\(2^2\)\(\times\)\(5^3\)
Donc :
\(360\)\(=\)\(2^3\)\(\times\)\(3^2\)\(\times\)\(5\)
\(500\)\(=\)\(2^2\)\(\times\)\(5^3\)
Conclusion : le PGCD(\(360\),\(500\))\(=\)\(2^2\)\(\times\)\(5\)\(=\)\(4\)\(\times\)\(5\)\(=\)\(20\).On revient a notre fraction et on simplifie par 20, on trouve :
\(360\over500\)\(=\)\(360:20\over500:20\)\(=\)\(18\over25\)
Proportionnalité
* \(a\), \(b\), \(x\) et \(y\) sont des réels (avec \(x\) et \(y\) non nuls)
\(a\) et \(b\) sont proportionnels à \(x\) et \(y\) signifie que \(a\over{x}\)\(=\)\(b\over{y}\).
\(a\) et \(b\) sont proportionnels à \(x\) et \(y\) signifie que \(a\over{x}\)\(=\)\(b\over{y}\).
Libellés:
1ère année secondaire
Activités numériques I
Cours_Tr_Numerique
Le Mathématicien
Math
Mathématiques
123×9+4
RépondreSupprimer