Cours - Somme de deux vecteurs - Vecteurs colinéaires - 1ère année secondaire

1ère année secondaire

Somme de deux vecteurs - Vecteurs colinéaires

Cours

1. Somme de deux vecteurs

L'enchaînement d'une translation de vecteur $\vec{u}$ et d'une translation de vecteur $\vec{v}$ est une translation de vecteur $\vec{u}+\vec{v}$. Ce vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ est appelé somme des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

2. Relation de Chasles

$A$, $B$ et $C$ sont trois points du plan alors : $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$.

3. Opposé d'un vecteur 

Si un vecteur $\vec{u}$ et un vecteur $\vec{v}$ ont la même direction, la même longueur et des sens opposés, on dit que ces vecteurs sont opposés et on note : $\vec{u}=-\vec{v}$ et $\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}$.

4. Multiplication d'un vecteur par un réel

Soit $\lambda$ un réel et $\vec{u}$ un vecteur. On désigne par $\lambda.\vec{u}$ le vecteur définie ainsi :

Cas 1 : $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\lambda=0$ alors $\lambda.\vec{u}=\vec{0}$.

Cas 2 : $\vec{u}\neq\vec{0}$ et $\lambda\neq0$, si $(A,B)$ est un représentant de $\vec{u}$ et $(A,C)$ de $\lambda.\vec{u}=\vec{0}$ alors $C$ appartient à la droite $(AB)$ et $AC=|\lambda|.AB$.

Propriétés :

Soient $\alpha$, $\beta$ deux réels et $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs

* $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$

* $\alpha(\vec{u}+\vec{v})=\alpha.\vec{u}+\alpha.\vec{v}$

* $(\alpha+\beta)\vec{u}=\alpha.\vec{u}+\beta.\vec{u}$

* $\alpha.\vec{u}=\vec{0}$ signifie que $\alpha=0$ ou $\vec{u}=\vec{0}$

Milieu d'un segment :

Si $I$ est le milieu du segment $[AB]$

On peut écrire : 

$\vec{IA}=-\vec{IB}$ ou $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}$.

Et réciproquement :

Si $\vec{IA}=-\vec{IB}$ ou $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}$  alors $I$ est le milieu du segment $[AB]$.

Remarque :
$A$, $B$ et $C$ sont trois points non alignés :

* Si $\vec{AB}=\vec{CD}$ alors $ABCD$ est un parallélogramme (Attention  à l'ordre des lettres).

* Si $\vec{AB}=\vec{CD}$ alors $\vec{AC}=\vec{BD}$.

4. Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$ .
Autrement dit, deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre.

Remarques : Puisque le vecteur $\vec{v}$ est non nul, alors le nombre réel $k$ est forcément différent de $0$. 

A retenir : Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.

Exercices corrigés - Somme de deux vecteurs - Vecteurs colinéaires

Somme de deux vecteurs - Vecteurs colinéaires - Corrigées des exercices du manuel scolaire - 1ère année secondaire

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