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Cours - Théorème de Thalès et sa réciproque - 1ère année secondaire


Cours - Théorème de Thalès et sa réciproque - 1ère année secondaire

1ère année secondaire

Théorème de Thalès et sa réciproque

Cours

1) Enoncé de Thalès :

Si trois droites parallèles à \(\Delta\) coupent les droites gradués \(D\) et \(D'\) respectivement en \(A\), \(B\), \(C\) et en \(A'\), \(B'\), \(C'\) alors on a :

\(\frac{AB}{AC}\) \(=\) \(\frac{A'B'}{A'C'}\).



2) Thalès et les tringles :
On a 3 cas :
* Cas n°1 :
\(B'\in [AB)\) et \(B'\in [AB]\).


* Cas n°2 :

\(B'\in [AB)\) et \(B'\notin [AB]\).


* Cas n°3 :

\(B'\notin [AB)\).


Enoncé de Thalès :
Dans un triangle \(ABC\) :

Si \(B'\in (AB)\), \(C' \in (AB)\) et \((B'C') // (BC)\) alors :

\(\frac{AB'}{AB}\) \(=\) \(\frac{AC'}{AC}\) ; \(\frac{BB'}{AB}\) \(=\) \(\frac{CC'}{CA}\) ; \(\frac{AB'}{BB'}\) \(=\) \(\frac{AC'}{CC'}\).


Enoncé de Thalès :
Dans un triangle \(ABC\), une parallèle à \((BC)\) coupant \((AB)\) en \(B'\) et \(AC\) en \(C'\), détermine un triangle \(AB'C'\) donc les côtés des tringle \(ABC\) et \(AB'C'\) sont proportionnels.
\(\frac{AB'}{AB}\) \(=\) \(\frac{AC'}{AC}\) \(=\) \(\frac{BC'}{BC}\)
.



3) Réciproque de Thalès :
Si on a trois points \(A, B, C\) d'une droite graduée \(D\) et trois points \(A', B', C'\) d'une droite graduée \(D'\) tels que \((AA')\) // \((BB')\) et \(\frac{\bar{AB}}{\bar{AC}}=\frac{\bar{A'B'}}{\bar{A'C'}}\) alors \((AA')\) // (CC')\) // \((BB')\).



Réciproque du théorème de Thalès dans un triangle :
Etant données un triangle \(ABC\) et les points \(M\) de \((AB)\) et \(N\) de \((AC)\), si on a \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\) alors les droits \((MN) // (BC)\).






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