Cours - Activités numériques II - 1ère année secondaire

1ère année secondaire

Activités numériques II

Cours

* Propriétés du quotient :

Pour tout réel $a$, et $b$ un réel on a: 

* $\frac {a}{b}$$=a.$$\frac {1}{b}$

* $\frac {a}{b}$$.c=a.$$\frac {a.c}{b}$

* $c$ un réel non nul ; $\frac {a}{b}$$.$$\frac {d}{c}$$=$$\frac {ad}{bc}$

* $a\neq 0$  ; $\frac {1}{a.b}$$=$$\frac {1}{a}$$.$$\frac {1}{b}$

*  $\frac {a}{b}$$=$$\frac {k.a}{k.b}$ ; avec $k\neq 0$

* $\frac {-a}{b}$$=$$\frac {a}{-b}$$=-$$\frac {a}{b}$

* $\frac {a}{1}$$=a$

* $\frac {0}{b}$$=0$

* $\frac {a+b}{c}$$=$$\frac {a}{c}$$+$$\frac {b}{c}$

* Si $c$ et $d$ sont non nuls, $\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}$$=$$\frac {a}{b}$$.$$\frac {d}{c}$

* Valeur absolue :

1) Définition : Valeur absolue
* $|a|=x$ si $x\geq 0$.
* $|a|=$ opposé de $(x)=-x$ si $x\leq 0$.

2) Remarque : La valeur absolue st toujours positive.

3) Propriétés de la valeur absolue :
* $|a.b|=|a|.|b|$.

* si $b\geq 0$ ; $|\frac{a}{b}|$$=$$\frac{|a|}{|b|}$.

* $|a+b|$ $\leq$ $|a|+|b|$.

* $|a|=|b|$ équivaut à $a=b$ ou $a=-b$.

4) Equations du type $|a|=a$ :

* Si $a<0$ alors $S_\mathbb{R}=\varnothing$.

* Si $a=0$ alors $S_\mathbb{R}=\{{0}\}$.

* Si $a>0$ alors $S_\mathbb{R}=\{{a,-a}\}$.

Remarque : 

* $x+a=b$ équivaut à $x=b-a$.

* $a\neq 0$ ; $x=b$ équivaut à $x=b.$ $\frac{1}{a}$.

* Puissances entiers :

1) Définition : 
On définit la puissance n-iéme d'un réel $a$ par :
a) $a^0=1$ avec $a\neq0$, $a^1=a$.

b) $n\in \mathbb{N}$, $n>1$ ; $a^n=\underbrace{a.a.a.\ldots.a}_\textrm{n facteurs}$.

2) Propriétés :
Pour tous entiers relatifs $n$ et $p$ et pour tous réels non nuls $a$ et $a$ :
* $a^n.a^p=a^{n+p}$.

* $(a^n)^p=a^{n.p}$.

* $\frac{a^n}{a^p}$$=a^{n-p}$.

* $a^{-n}=$$\frac{1}{a^n}$.

* $(a.b)^n=a^n.b^p$.

* $(\frac{a}{b})^n$$=$$\frac{a^n}{b^n}$.

Remarque :

* $a^n+b^n \neq (a+b)^n$.

* Ordre dans $\mathbb{R}$ :

* $a\leqslant b$ si seulement si $a-b \in \mathbb{R}_-$.

* $a\geqslant b$ si seulement si $a-b \in \mathbb{R}_+$.

* $a\leqslant b$ et $b\leqslant a$ signifie $a=b$.

* Si $a\leqslant b$ alors $a+c\leqslant b+c$.

* $a\leqslant b$ et $c\leqslant d$ alors $a+b\leqslant b+d$.

* $a\leqslant b$ et $c\in \mathbb{R^*_+}$ alors $a.c\leqslant b.c$.

* $a\leqslant b$ et $c\in \mathbb{R^*_-}$ alors $a.c\geqslant b.c$.

* Si $a,b,c$ et $d\in \mathbb{R}_+$, Si $a\leqslant b$ et $c\leqslant d$ alors $a.c\geqslant b.d$.

* Si $a$ et $b$ sont positifs, $a>b$ équivaut à et $a^2>b^2$.

* Si $a$ et $b$ sont négatifs, $a>b$ équivaut à et $a^2<b^2$.

Remarque :

Si l'un est positif et l'autre est négatif on ne peut rien conclure pour leurs carrées.

* Si deux réels non nul et de même signe $a<b$ équivaut à $\frac{1}{a}$$>$$\frac{1}{b}$.

* $b\leqslant a\leqslant c$ équivaut à $a\leqslant c$ et $b\leqslant a$

* Intervalles dans $\mathbb{R}$ :

* $[a,+\infty[$ $=$ $\{x\in \mathbb{R}$, tel que $x\geqslant a\}$.
* $]a,+\infty[$ $=$ $\{x\in \mathbb{R}$, tel que $x>a\}$.

* $]-\infty,b[$ $=$ $\{x\in \mathbb{R}$, tel que $x\leqslant b\}$.
* $]-\infty,b[$ $=$ $\{x\in \mathbb{R}$, tel que $x<b\}$.

* $]a,b[$ $=$ $\{x\in \mathbb{R}$, tel que $a<x<b\}$.
* $[a,b]$ $=$ $\{x\in \mathbb{R}$, tel que $a\leqslant x\leqslant b\}$.
* $[a,b[$ $=$ $\{x\in \mathbb{R}$, tel que $a\leqslant x<b\}$.

* Théorème :

* Soit $a \in \mathbb{R}_+$, $|x|<a$ si et seulement si $-a<x<a$.

* Racine carrée :

Définition : 
Si $a\in \mathbb{R_+}$, l'unique réel positif $x$ tel que $x^2=a$, s'appelle la racine carrée de $a$ et on note $\sqrt{a}=x$.

Propriétés :
* $a\in \mathbb{R_+}$ ; $(\sqrt{a})^2=a$.

* $a\in \mathbb{R}$ ; $\sqrt{a}^2=|a|$.

* Pour tout $a$ et $b$ $\in \mathbb{R_+}$ ; $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$.

* Pour tout $a$ et $b$ $\in \mathbb{R_+}$, $b\neq 0$ ; $\sqrt{\frac{a}{b}}$ $=$ $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

* $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ est une expression conjuguée de $\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Attension :
* $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Equation :
Si $a>0$ alors (les solutions sont $x=\sqrt{a}$ ou $x=-\sqrt{a}$).
Si $a=0$ alors (la solution est $x=0$).

Si $a<0$ alors (l'équation n'admet pas de solution).

Exercices corrigés - Activités numériques II

Activités numériques II - Corrigées des exercices du manuel scolaire - 1ère année secondaire

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