Cours - Activités numériques II - 1ère année secondaire
1ère année secondaire
Activités numériques II
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* Propriétés du quotient :
Pour tout réel \(a\), et \(b\) un réel on a:
* \(\frac {a}{b}\)\(=a.\)\(\frac {1}{b}\)
* \(\frac {a}{b}\)\(.c=a.\)\(\frac {a.c}{b}\)
* \(c\) un réel non nul ; \(\frac {a}{b}\)\(.\)\(\frac {d}{c}\)\(=\)\(\frac {ad}{bc}\)
* \(a\neq 0\) ; \(\frac {1}{a.b}\)\(=\)\(\frac {1}{a}\)\(.\)\(\frac {1}{b}\)
* \(\frac {a}{b}\)\(=\)\(\frac {k.a}{k.b}\) ; avec \(k\neq 0\)
* \(\frac {-a}{b}\)\(=\)\(\frac {a}{-b}\)\(=-\)\(\frac {a}{b}\)
* \(\frac {a}{1}\)\(=a\)
* \(\frac {0}{b}\)\(=0\)
* \(\frac {a+b}{c}\)\(=\)\(\frac {a}{c}\)\(+\)\(\frac {b}{c}\)
* Si \(c\) et \(d\) sont non nuls, \(\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}\)\(=\)\(\frac {a}{b}\)\(.\)\(\frac {d}{c}\)
* \(\frac {a}{b}\)\(.c=a.\)\(\frac {a.c}{b}\)
* \(c\) un réel non nul ; \(\frac {a}{b}\)\(.\)\(\frac {d}{c}\)\(=\)\(\frac {ad}{bc}\)
* \(a\neq 0\) ; \(\frac {1}{a.b}\)\(=\)\(\frac {1}{a}\)\(.\)\(\frac {1}{b}\)
* \(\frac {a}{b}\)\(=\)\(\frac {k.a}{k.b}\) ; avec \(k\neq 0\)
* \(\frac {-a}{b}\)\(=\)\(\frac {a}{-b}\)\(=-\)\(\frac {a}{b}\)
* \(\frac {a}{1}\)\(=a\)
* \(\frac {0}{b}\)\(=0\)
* \(\frac {a+b}{c}\)\(=\)\(\frac {a}{c}\)\(+\)\(\frac {b}{c}\)
* Si \(c\) et \(d\) sont non nuls, \(\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}\)\(=\)\(\frac {a}{b}\)\(.\)\(\frac {d}{c}\)
* Valeur absolue :
1) Définition : Valeur absolue
* \(|a|=x\) si \(x\geq 0\).
* \(|a|=\) opposé de \((x)=-x\) si \(x\leq 0\).
2) Remarque : La valeur absolue st toujours positive.
3) Propriétés de la valeur absolue :
* \(|a.b|=|a|.|b|\).
* \(|a|=x\) si \(x\geq 0\).
* \(|a|=\) opposé de \((x)=-x\) si \(x\leq 0\).
2) Remarque : La valeur absolue st toujours positive.
3) Propriétés de la valeur absolue :
* \(|a.b|=|a|.|b|\).
* si \(b\geq 0\) ; \(|\frac{a}{b}|\)\(=\)\(\frac{|a|}{|b|}\).
* \(|a+b|\) \(\leq\) \(|a|+|b|\).
* \(|a|=|b|\) équivaut à \(a=b\) ou \(a=-b\).
4) Equations du type \(|a|=a\) :
* \(a\neq 0\) ; \(x=b\) équivaut à \(x=b.\) \(\frac{1}{a}\).
* Si \(a<0\) alors \(S_\mathbb{R}=\varnothing\).
* Si \(a=0\) alors \(S_\mathbb{R}=\{{0}\}\).
* Si \(a>0\) alors \(S_\mathbb{R}=\{{a,-a}\}\).
Remarque :
* \(x+a=b\) équivaut à \(x=b-a\).
* Puissances entiers :
1) Définition :
On définit la puissance n-iéme d'un réel \(a\) par :
a) \(a^0=1\) avec \(a\neq0\), \(a^1=a\).
b) \(n\in \mathbb{N}\), \(n>1\) ; \(a^n=\underbrace{a.a.a.\ldots.a}_\textrm{n facteurs}\).
2) Propriétés :
Pour tous entiers relatifs \(n\) et \(p\) et pour tous réels non nuls \(a\) et \(a\) :
* \(a^n.a^p=a^{n+p}\).
* \((a^n)^p=a^{n.p}\).
* \(\frac{a^n}{a^p}\)\(=a^{n-p}\).
* \(a^{-n}=\)\(\frac{1}{a^n}\).
* \((a.b)^n=a^n.b^p\).
* \((\frac{a}{b})^n\)\(=\)\(\frac{a^n}{b^n}\).
Remarque :
On définit la puissance n-iéme d'un réel \(a\) par :
a) \(a^0=1\) avec \(a\neq0\), \(a^1=a\).
b) \(n\in \mathbb{N}\), \(n>1\) ; \(a^n=\underbrace{a.a.a.\ldots.a}_\textrm{n facteurs}\).
2) Propriétés :
Pour tous entiers relatifs \(n\) et \(p\) et pour tous réels non nuls \(a\) et \(a\) :
* \(a^n.a^p=a^{n+p}\).
* \((a^n)^p=a^{n.p}\).
* \(\frac{a^n}{a^p}\)\(=a^{n-p}\).
* \(a^{-n}=\)\(\frac{1}{a^n}\).
* \((a.b)^n=a^n.b^p\).
* \((\frac{a}{b})^n\)\(=\)\(\frac{a^n}{b^n}\).
Remarque :
* \(a^n+b^n \neq (a+b)^n\).
* Ordre dans \(\mathbb{R}\) :
* \(a\leqslant b\) si seulement si \(a-b \in \mathbb{R}_-\).
* \(a\geqslant b\) si seulement si \(a-b \in \mathbb{R}_+\).
* \(a\leqslant b\) et \(b\leqslant a\) signifie \(a=b\).
* Si \(a\leqslant b\) alors \(a+c\leqslant b+c\).
* \(a\leqslant b\) et \(c\leqslant d\) alors \(a+b\leqslant b+d\).
* \(a\leqslant b\) et \(c\in \mathbb{R^*_+}\) alors \(a.c\leqslant b.c\).
* \(a\leqslant b\) et \(c\in \mathbb{R^*_-}\) alors \(a.c\geqslant b.c\).
* Si \(a,b,c\) et \(d\in \mathbb{R}_+\), Si \(a\leqslant b\) et \(c\leqslant d\) alors \(a.c\geqslant b.d\).
* Si \(a\) et \(b\) sont positifs, \(a>b\) équivaut à et \(a^2>b^2\).
* Si \(a\) et \(b\) sont négatifs, \(a>b\) équivaut à et \(a^2<b^2\).
Remarque :
* \(a\geqslant b\) si seulement si \(a-b \in \mathbb{R}_+\).
* \(a\leqslant b\) et \(b\leqslant a\) signifie \(a=b\).
* Si \(a\leqslant b\) alors \(a+c\leqslant b+c\).
* \(a\leqslant b\) et \(c\leqslant d\) alors \(a+b\leqslant b+d\).
* \(a\leqslant b\) et \(c\in \mathbb{R^*_+}\) alors \(a.c\leqslant b.c\).
* \(a\leqslant b\) et \(c\in \mathbb{R^*_-}\) alors \(a.c\geqslant b.c\).
* Si \(a,b,c\) et \(d\in \mathbb{R}_+\), Si \(a\leqslant b\) et \(c\leqslant d\) alors \(a.c\geqslant b.d\).
* Si \(a\) et \(b\) sont positifs, \(a>b\) équivaut à et \(a^2>b^2\).
* Si \(a\) et \(b\) sont négatifs, \(a>b\) équivaut à et \(a^2<b^2\).
Remarque :
Si l'un est positif et l'autre est négatif on ne peut rien conclure pour leurs carrées.
* Si deux réels non nul et de même signe \(a<b\) équivaut à \(\frac{1}{a}\)\(>\)\(\frac{1}{b}\).
* \(b\leqslant a\leqslant c\) équivaut à \(a\leqslant c\) et \(b\leqslant a\)
* Intervalles dans \(\mathbb{R}\) :
* \(]a,b[\) \(=\) \(\{x\in \mathbb{R}\), tel que \(a<x<b\}\).
* \([a,b]\) \(=\) \(\{x\in \mathbb{R}\), tel que \(a\leqslant x\leqslant b\}\).
* \([a,b[\) \(=\) \(\{x\in \mathbb{R}\), tel que \(a\leqslant x<b\}\).
* Si deux réels non nul et de même signe \(a<b\) équivaut à \(\frac{1}{a}\)\(>\)\(\frac{1}{b}\).
* \(b\leqslant a\leqslant c\) équivaut à \(a\leqslant c\) et \(b\leqslant a\)
* Intervalles dans \(\mathbb{R}\) :
* \([a,+\infty[\) \(=\) \(\{x\in \mathbb{R}\), tel que \(x\geqslant a\}\).
* \(]a,+\infty[\) \(=\) \(\{x\in \mathbb{R}\), tel que \(x>a\}\).
* \(]-\infty,b[\) \(=\) \(\{x\in \mathbb{R}\), tel que \(x\leqslant b\}\).
* \(]-\infty,b[\) \(=\) \(\{x\in \mathbb{R}\), tel que \(x<b\}\).
* \(]a,+\infty[\) \(=\) \(\{x\in \mathbb{R}\), tel que \(x>a\}\).
* \(]-\infty,b[\) \(=\) \(\{x\in \mathbb{R}\), tel que \(x\leqslant b\}\).
* \(]-\infty,b[\) \(=\) \(\{x\in \mathbb{R}\), tel que \(x<b\}\).
* \(]a,b[\) \(=\) \(\{x\in \mathbb{R}\), tel que \(a<x<b\}\).
* \([a,b]\) \(=\) \(\{x\in \mathbb{R}\), tel que \(a\leqslant x\leqslant b\}\).
* \([a,b[\) \(=\) \(\{x\in \mathbb{R}\), tel que \(a\leqslant x<b\}\).
* Théorème :
* Soit \(a \in \mathbb{R}_+\), \(|x|<a\) si et seulement si \(-a<x<a\).
* Racine carrée :
Définition :
Si \(a\in \mathbb{R_+}\), l'unique réel positif \(x\) tel que \(x^2=a\), s'appelle la racine carrée de \(a\) et on note \(\sqrt{a}=x\).
Propriétés :
* \(a\in \mathbb{R_+}\) ; \((\sqrt{a})^2=a\).
* \(a\in \mathbb{R}\) ; \(\sqrt{a}^2=|a|\).
* Pour tout \(a\) et \(b\) \(\in \mathbb{R_+} \) ; \(\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\).
* Pour tout \(a\) et \(b\) \(\in \mathbb{R_+} \), \(b\neq 0\) ; \(\sqrt{\frac{a}{b}}\) \(=\) \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).
* \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) est une expression conjuguée de \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
Attension :
* \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
Equation :
Si \(a>0\) alors (les solutions sont \(x=\sqrt{a}\) ou \(x=-\sqrt{a}\)).
Si \(a=0\) alors (la solution est \(x=0\)).
Si \(a\in \mathbb{R_+}\), l'unique réel positif \(x\) tel que \(x^2=a\), s'appelle la racine carrée de \(a\) et on note \(\sqrt{a}=x\).
Propriétés :
* \(a\in \mathbb{R_+}\) ; \((\sqrt{a})^2=a\).
* \(a\in \mathbb{R}\) ; \(\sqrt{a}^2=|a|\).
* Pour tout \(a\) et \(b\) \(\in \mathbb{R_+} \) ; \(\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\).
* Pour tout \(a\) et \(b\) \(\in \mathbb{R_+} \), \(b\neq 0\) ; \(\sqrt{\frac{a}{b}}\) \(=\) \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).
* \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) est une expression conjuguée de \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
Attension :
* \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
Equation :
Si \(a>0\) alors (les solutions sont \(x=\sqrt{a}\) ou \(x=-\sqrt{a}\)).
Si \(a=0\) alors (la solution est \(x=0\)).
Si \(a<0\) alors (l'équation n'admet pas de solution).
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