Cours - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle - 1ère année secondaire

1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

Cours

1) Pythagore - Relations métriques dans un triangle rectangle :

* Théorème de Pythagore :
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ équivaut à $BC^2=AB^2+AC^2$.

* Relations métriques dans un triangle rectangle :

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$.
$H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $BC$.
$AH^2=HB\times HC$, $AB^2=BH\times BC$ et $AC^2=CH\times CB$.

* Moyenne géométrique :

La moyenne géométrique de deux nombres $a$ et $b$ est $\sqrt{a.b}$.

Exemple : La moyenne géométrique de $2$ et $3$ c'est $\sqrt{2\times3}=\sqrt{6}$.

Construction : $\sqrt{ab}$.

On place $3$ points alignés $A$, $H$ et $C$ tels que $AH=a$ et $HC=b$, fixe le point $M$ milieu de $[AC]$, trace le demi cercle de centre $M$ et de rayon $MA$.

Trace $(HB)\perp (AC)$ avec $B$ appartenant au cercle alors $HB=\sqrt{ab}$.

1) Rapports trigonométriques d'un angle aigu :

* Triangle rectangle :

* Cosinus :

Le cosinus d'un angle aigu $\widehat{B}$ se note $cos~\widehat{B}$ :

$cos~\widehat{B}=\frac{côté~adjacent~pour~\widehat{B}}{hypténuse}=\frac{BA}{BC}$.


Le cosinus d'un angle aigu est un nombre compris entre $0$ et $1$.

* Sinus :

Le sinus d'un angle aigu $\widehat{B}$ se note $sin~\widehat{B}$ :

$sin~\widehat{B}=\frac{côté~opposé~pour~\widehat{B}}{hypténuse}=\frac{CA}{CB}$.


Le sinus d'un angle aigu est un nombre compris entre $0$ et $1$.

* Tangente :

La tangente d'un angle aigu $\widehat{B}$ se note $tg~\widehat{B}$ :

$tg~\widehat{B}=\frac{côté~opposé~pour~\widehat{B}}{côté~adjacent~pour~\widehat{B}}=\frac{AC}{AB}$.

* Cotangente :

La cotangente d'un angle aigu $\widehat{B}$ se note $cotg~\widehat{B}$ :

$cotg~\widehat{B}=\frac{côté~adjacent~pour~\widehat{B}}{côté~opposé~pour~\widehat{B}}=\frac{AB}{AC}$.

1) Relations trigonométriques :

$tg~\widehat{B}$ $=$ $\frac{sin~\widehat{B}}{cos\widehat{B}}$.

$cos^2\widehat{B}+sin^2\widehat{B}=1$

* Angles remarquables :
* Si $\alpha=0°$ :
$cos~\alpha=1$ ; $sin~\alpha=0$ ; $tg~\alpha=0$

* Si $\alpha=30°$ :
$cos~\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $sin~\alpha=\frac{1}{2}$ ; $tg~\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ; $cotg~\alpha=\sqrt{3}$

* Si $\alpha=45°$ :
$cos~\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; $sin~\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; $tg~\alpha=1$ ; $cotg~\alpha=1$

* Si $\alpha=60°$ :
$cos~\alpha=\frac{1}{2}$ ; $sin~\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $tg~\alpha=\sqrt{3}$ ; $cotg~\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$

* Si $\alpha=90°$ :
$cos~\alpha=0$ ; $sin~\alpha=1$  ; $cotg~\alpha=0$

* Remarque :

Si $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ sont deux angles complémentaires alors $cos\widehat{B}=sin\widehat{C}$ et  $sin\widehat{B}=cos\widehat{C}$.

Exercices corrigés - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle

Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle - Corrigées des exercices du manuel scolaire - 1ère année secondaire

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