Cours - Systèmes de deux équations à deux inconnues - 1ère année secondaire
* Équations du premier degré à deux inconnues :
Une équation du 1er degré à 2 inconnues, est une équation du type \(ax+by+c=0\) dont \(a\), \(b\), \(c\) sont connus et \(x\) et \(y\) sont inconnues.
* Méthode de résolution :
* Méthode de résolution :
- Pour trouver des solutions d'une équation du 1er degré à 2 inconnues, on donne une valeur à l'une des inconnues pour que l'équation soit vérifiée.
- Exemple :
Soit l'équation \(2\)\(x\)\(+3\)\(y\)\(=5\).
Si \(x=0\) :
\(2\)\(x\)\(+3\)\(y\)\(=5\) \(\Rightarrow\) \(2\times\)\(0\)\(+3\)\(y\)\(=5\) \(\Rightarrow\) \(3\)\(y\)\(=5\) \(\Rightarrow\) \(y\)\(=\)\(\frac{5}{3}\)
Si \(x=2\) :
\(2\)\(x\)\(+3\)\(y\)\(=5\) \(\Rightarrow\) \(2\times\)\(2\)\(+3\)\(y\)\(=5\) \(\Rightarrow\) \(4+3\)\(y\)\(=5\) \(\Rightarrow\) \(3\)\(y\)\(=5-4\) \(\Rightarrow\) \(3\)\(y\)\(=1\) \(\Rightarrow\) \(y\)\(=\)\(\frac{1}{3}\)
Cette équation admet une infinité de solutions parmi les quelles \((0, \frac{5}{3})\)et \((2, \frac{1}{3})\).
* Représentation gaphique :
La représentation graphique, dans un repère d'une équation du premier degré à deux inconnues est la droite formée par tous les points dont les coordonnées sont les solutions de cette équation,
- Exemple :
La représentation graphique de l'équation précédente \(2x+3y=5\), est la droite qui passe par les points \(A(0, \frac{5}{3})\) et \(B(2, \frac{1}{3})\).
* Résolution par calcul :
\(\left\{\begin{array}{ll}
x+4y=20 \\
x+3y=13
\end{array}\right.\)
l) Méthode de substitution
Exemple:\(\left\{\begin{array}{ll}
x+4y=20 \\
x+3y=13
\end{array}\right.\)
Pour la première équation :
On a : \(x\)\(+4\)\(y\)\(=20\) c'est à dire \(x=20-4y\).
On remplace ensuite le \(x\) dans la deuxième équation :
\({\color{Red}{x}}+3y=13\) alors \({\color{Red}{(20-4y)}}+3{\color{Blue}{y}}=13\) d'où \(-{\color{Blue}{y}}=13-20\) donc \(-{\color{Blue}{y}}=-7\) et par la suite \(y=7\).
Ensuite on remplace \(y\) de la première équation par \(7\) :
\({\color{Red}{x}}=20-4{\color{blue}{y}}\) alors \({\color{Red}{x}}=20-(4\times7)\) d'où \({\color{Red}{x}}=20-28\) donc \(x= -8\).
Conclusion : la solution est \(S= \left \{(-8,7) \right \}\).
2) Méthode par addition
Exemple:
\(\left\{\begin{array}{ll}
{\color{Magenta}{2}}x+4y=20 \\
{\color{Purple}{3}}x+3y=13
\end{array}\right.\)
{\color{Magenta}{2}}x+4y=20 \\
{\color{Purple}{3}}x+3y=13
\end{array}\right.\)
On multiplie la première équation par \(3\) pour faire apparaître \(6x\) :
On trouve \({\color{Purple}{3}}\times2x+{\color{Purple}{3}}\times4y={\color{Purple}{3}}\times20\)
D'où \(6x+12y=60\)
* On multiplie la deuxième équation par \((-2)\) pour faire apparaître \(-6x\):
On trouve \({\color{Magenta}{(-2)}}\times3x+{\color{Magenta}{(-2)}}\times3y={\color{Magenta}{(-2)}}\times13\)
D'où \(-6x-6y=-26\)
D'où \(6x+12y=60\)
* On multiplie la deuxième équation par \((-2)\) pour faire apparaître \(-6x\):
On trouve \({\color{Magenta}{(-2)}}\times3x+{\color{Magenta}{(-2)}}\times3y={\color{Magenta}{(-2)}}\times13\)
D'où \(-6x-6y=-26\)
Le système d'équation sera :
\(\left\{\begin{array}{ll}{\color{Magenta}{6x+12y=60}} \\
{\color{Purple}{-6x-6y=-26}}\end{array}\right.\)
* On additionne membre à membre on trouve :
\({\color{Magenta}{6x}}+{\color{Purple}{(-6x})}+{\color{Magenta}{12y}}+{\color{Purple}{(-6y)}}={\color{Magenta}{60}}+{\color{Purple}{(-26)}}\) \(\Rightarrow\) \(6y=34\) \(\Rightarrow\) \(y=\)\(\frac{34}{6}\) \(\Rightarrow\) \(y=\)\(\frac{17}{3}\)
\(2x+4y=20\) \(\Rightarrow\) \(2x+4\times(\)\(\frac{17}{3}\)\()=20\) \(\Rightarrow\) \(2x+\)\(\frac{68}{3}\)\(=20\) \(\Rightarrow\) \(2x\)\(=20\)\(-\frac{68}{3}\) \(\Rightarrow\) \(2x\)\(=\)\(\frac{60}{3}\)\(-\frac{68}{3}\) \(\Rightarrow\) \(2x\)\(=\)\(-\frac{8}{3}\) \(\Rightarrow\) \(x\)\(=\)\(-\frac{8}{3}\)\(\times\)\(\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(x\)\(=\)\(-\frac{8}{6}\) \(\Rightarrow\) \(x\)\(=\)\(-\frac{4}{3}\)
3) Méthode par égalisation
Exemple :
\(\left\{\begin{array}{ll}4x+2y=10 \\
3x+3y=12
\end{array}\right.\)
Cherchons \(y\) dans chacune des \(2\) équations :
1er équation :
\(4x+2y=10\) \(\Rightarrow\) \(2y=-4x+10\) \(\Rightarrow\) \(y=\) \(\frac{-4x+10}{2}\) \(\Rightarrow\) \(y=-2x+5\)
2er équation :
\(3x+3y=12\) \(\Rightarrow\) \(3y=-3x+12\) \(\Rightarrow\) \(y=\) \(\frac{-3x+12}{3}\) \(\Rightarrow\) \(y=-x+4\)
Le système d'équation sera
\(\left\{\begin{array}{ll}
y&=-2x+5 \\
y&=-x+4
\end{array}\right.\)
y&=-2x+5 \\
y&=-x+4
\end{array}\right.\)
Alors \(-2x+5=-x+4\) \(\Rightarrow\) \(-2x+x=-5+4\) \(\Rightarrow\) \(-x=-1\) \(\Rightarrow\) \(x=1\)
* On remplace \(x\) par \(1\) dans une des \(2\) équations précédentes :
* On remplace \(x\) par \(1\) dans une des \(2\) équations précédentes :
Pour la 1er équation :
\(y=-2x+5\) \(\Rightarrow\) \(y=(-2\times(1))+5\) \(\Rightarrow\) \(y=-2+5\) \(\Rightarrow\) \(y=3\)
Pour la 1er équation :
\(y=-x+4\) \(\Rightarrow\) \(y=(-1)+4\) \(\Rightarrow\) \(y=3\)
Conclusion : la solution est \(S= \left \{(1,3) \right \}\).
* Résolution graphique :
Pour résoudre un système d'équation graphiquement il faut représenter chacune des deux droites et étudier leurs intersection
* Si les deux droites sont strictement parallèles alors pas solution trouvée.
* Si les deux droites sont sécantes alors une seule solution trouvée.
* Si les deux droites sont confondues alors la solution c'est toute la droite.
Soit le système d'équation :
\(\left\{
\begin{array}{ll}
ax&+&by&+&c&=&0 \\
a'x&+&b'y&+&c'&=&0
\end{array}
\right.\)
Pour résoudre graphiquement ce système :
\(\left\{
\begin{array}{ll}
ax&+&by&+&c&=&0 \\
a'x&+&b'y&+&c'&=&0
\end{array}
\right.\)
Pour résoudre graphiquement ce système :
Il faut tracer la droite \(D\) la représentation graphique de l'équation \(ax+by+c=0\) et \(D'\) la représentation graphique de l'équation \(a'x+b'y+c'=0\).
Ensuite il faut lire sur le graphique les coordonnées du point commun aux deux droites et enfin écrire l'ensemble des solutions.
Important :
On mettons les deux équations sous la forme \(y=ax+b\) on trouve : \(D : y=ax+b\) et \(D' : y=ax+b\).
\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{a}}x+{\color{blue}{b}} & \\
y={\color{Magenta}{a'}}x+{\color{blue}{b'}} &
\end{array}\right.\)
- Si \({\color{Magenta}{a}}\neq {\color{Magenta}{a'}}\) alors \(D\) et \(D'\) sont deux droites sécantes, et par la suite il n' y a qu'une seule solution unique. (c'est les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites).
Exemple :
\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{4}}x+{\color{blue}{1}} & \\
y={\color{Magenta}{2}}x-{\color{blue}{3}} &
\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{-2}}x+{\color{blue}{1}} & \\
y={\color{Magenta}{3}}x+{\color{blue}{1}} &
\end{array}\right.\)
- Si \({\color{Magenta}{a}}={\color{Magenta}{a'}}\) et \({\color{blue}{b}}\neq {\color{blue}{b'}}\) alors \(D\) et \(D'\) sont deux droites parallèles, et par la suite il n y a pas de solution, c'est à dire \(S=\varnothing\) ou \(S=\{\}\).
Exemple :
\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{-2}}x+{\color{blue}{3}} & \\
y={\color{Magenta}{-2}}x-{\color{blue}{1}} &
\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{5}}x-{\color{blue}{2}} & \\
y={\color{Magenta}{5}}x+{\color{blue}{1}} &
\end{array}\right.\)
- Si \({\color{Magenta}{a}}={\color{Magenta}{a'}}\) et \({\color{blue}{b}}={\color{blue}{b'}}\) alors \(D\) et \(D'\) sont deux droites confondues, et par la suite l'ensemble des solutions est la droite \(D\) toute entière.
Exemple :
\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{4}}x+{\color{blue}{2}} & \\
y={\color{Magenta}{\frac{8}{2}}}x+{\color{blue}{2}} &
\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{-3}}x-{\color{blue}{3}} & \\
y={\color{Magenta}{-3}}x-{\color{blue}{\frac{9}{3}}} &
\end{array}\right.\)
Ensuite il faut lire sur le graphique les coordonnées du point commun aux deux droites et enfin écrire l'ensemble des solutions.
Important :
On mettons les deux équations sous la forme \(y=ax+b\) on trouve : \(D : y=ax+b\) et \(D' : y=ax+b\).
\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{a}}x+{\color{blue}{b}} & \\
y={\color{Magenta}{a'}}x+{\color{blue}{b'}} &
\end{array}\right.\)
- Si \({\color{Magenta}{a}}\neq {\color{Magenta}{a'}}\) alors \(D\) et \(D'\) sont deux droites sécantes, et par la suite il n' y a qu'une seule solution unique. (c'est les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites).
Exemple :
\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{4}}x+{\color{blue}{1}} & \\
y={\color{Magenta}{2}}x-{\color{blue}{3}} &
\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{-2}}x+{\color{blue}{1}} & \\
y={\color{Magenta}{3}}x+{\color{blue}{1}} &
\end{array}\right.\)
- Si \({\color{Magenta}{a}}={\color{Magenta}{a'}}\) et \({\color{blue}{b}}\neq {\color{blue}{b'}}\) alors \(D\) et \(D'\) sont deux droites parallèles, et par la suite il n y a pas de solution, c'est à dire \(S=\varnothing\) ou \(S=\{\}\).
Exemple :
\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{-2}}x+{\color{blue}{3}} & \\
y={\color{Magenta}{-2}}x-{\color{blue}{1}} &
\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{5}}x-{\color{blue}{2}} & \\
y={\color{Magenta}{5}}x+{\color{blue}{1}} &
\end{array}\right.\)
- Si \({\color{Magenta}{a}}={\color{Magenta}{a'}}\) et \({\color{blue}{b}}={\color{blue}{b'}}\) alors \(D\) et \(D'\) sont deux droites confondues, et par la suite l'ensemble des solutions est la droite \(D\) toute entière.
Exemple :
\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{4}}x+{\color{blue}{2}} & \\
y={\color{Magenta}{\frac{8}{2}}}x+{\color{blue}{2}} &
\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{-3}}x-{\color{blue}{3}} & \\
y={\color{Magenta}{-3}}x-{\color{blue}{\frac{9}{3}}} &
\end{array}\right.\)
Libellés:
1ère année secondaire
Cours_Tr_Numerique
Le Mathématicien
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Mathématiques
Systèmes de deux équations à deux inconnues
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