Cours - Systèmes de deux équations à deux inconnues - 1ère année secondaire

1ère année secondaire 

Systèmes de deux équations à deux inconnues 

Cours 

* Équations du premier degré à deux inconnues :

Une équation du 1er degré à 2 inconnues, est une équation du type $ax+by+c=0$ dont $a$, $b$, $c$ sont connus et $x$ et $y$ sont inconnues. 

* Méthode de résolution :

- Pour trouver des solutions d'une équation du 1er degré à 2 inconnues, on donne une valeur à l'une des inconnues pour que l'équation soit vérifiée.

- Exemple : 
Soit l'équation $2$$x$$+3$$y$$=5$.

Si $x=0$ :

$2$$x$$+3$$y$$=5$ $\Rightarrow$ $2\times$$0$$+3$$y$$=5$ $\Rightarrow$ $3$$y$$=5$ $\Rightarrow$ $y$$=$$\frac{5}{3}$

Si $x=2$ :

$2$$x$$+3$$y$$=5$ $\Rightarrow$ $2\times$$2$$+3$$y$$=5$ $\Rightarrow$ $4+3$$y$$=5$ $\Rightarrow$ $3$$y$$=5-4$ $\Rightarrow$ $3$$y$$=1$ $\Rightarrow$ $y$$=$$\frac{1}{3}$

Cette équation admet une infinité de solutions parmi les quelles $(0, \frac{5}{3})$et $(2, \frac{1}{3})$.
* Représentation gaphique :
La représentation graphique, dans un repère d'une équation du premier degré à deux inconnues est la droite formée par tous les points dont les coordonnées sont les solutions de cette équation,

- Exemple :
La représentation graphique de l'équation précédente $2x+3y=5$, est la droite qui passe par les points $A(0, \frac{5}{3})$ et $B(2, \frac{1}{3})$.

* Résolution d'un système d'équations à deux inconnues du 1er degré : 

* Résolution par calcul :

l) Méthode de substitution

Exemple:
$\left\{\begin{array}{ll} x+4y=20 \\ x+3y=13 \end{array}\right.$

Pour la première équation :

On a : $x$$+4$$y$$=20$ c'est à dire $x=20-4y$.

On remplace ensuite le $x$ dans la deuxième équation :
${\color{Red}{x}}+3y=13$ alors ${\color{Red}{(20-4y)}}+3{\color{Blue}{y}}=13$ d'où $-{\color{Blue}{y}}=13-20$ donc $-{\color{Blue}{y}}=-7$ et par la suite $y=7$.

Ensuite on remplace $y$ de la première équation par $7$ :

${\color{Red}{x}}=20-4{\color{blue}{y}}$ alors ${\color{Red}{x}}=20-(4\times7)$ d'où ${\color{Red}{x}}=20-28$ donc $x= -8$.

Conclusion : la solution est $S= \left \{(-8,7) \right \}$.

2) Méthode par addition

Exemple:

$\left\{\begin{array}{ll} {\color{Magenta}{2}}x+4y=20 \\ {\color{Purple}{3}}x+3y=13 \end{array}\right.$

On multiplie la première équation par $3$ pour faire apparaître $6x$ :

On trouve ${\color{Purple}{3}}\times2x+{\color{Purple}{3}}\times4y={\color{Purple}{3}}\times20$
D'où $6x+12y=60$

* On multiplie la deuxième équation par $(-2)$ pour faire apparaître $-6x$:
On trouve ${\color{Magenta}{(-2)}}\times3x+{\color{Magenta}{(-2)}}\times3y={\color{Magenta}{(-2)}}\times13$
D'où $-6x-6y=-26$

Le système d'équation sera :

$\left\{\begin{array}{ll} {\color{Magenta}{6x+12y=60}} \\ {\color{Purple}{-6x-6y=-26}}\end{array}\right.$

* On additionne membre à membre on trouve :

${\color{Magenta}{6x}}+{\color{Purple}{(-6x})}+{\color{Magenta}{12y}}+{\color{Purple}{(-6y)}}={\color{Magenta}{60}}+{\color{Purple}{(-26)}}$ $\Rightarrow$ $6y=34$ $\Rightarrow$ $y=$$\frac{34}{6}$ $\Rightarrow$ $y=$$\frac{17}{3}$

Ensuite on remplace $y$ dans la première équation pour trouver $x$ :

$2x+4y=20$ $\Rightarrow$ $2x+4\times($$\frac{17}{3}$$)=20$ $\Rightarrow$ $2x+$$\frac{68}{3}$$=20$ $\Rightarrow$ $2x$$=20$$-\frac{68}{3}$ $\Rightarrow$ $2x$$=$$\frac{60}{3}$$-\frac{68}{3}$ $\Rightarrow$ $2x$$=$$-\frac{8}{3}$ $\Rightarrow$ $x$$=$$-\frac{8}{3}$$\times$$\frac{1}{2}$ $\Rightarrow$ $x$$=$$-\frac{8}{6}$ $\Rightarrow$ $x$$=$$-\frac{4}{3}$

Conclusion : la solution est $S= \left \{(-\frac{4}{3},\frac{17}{3}) \right \}$.

3) Méthode par égalisation

Exemple :

$\left\{\begin{array}{ll} 4x+2y=10 \\ 3x+3y=12 \end{array}\right.$

Cherchons $y$ dans chacune des $2$ équations :

1er équation :

$4x+2y=10$ $\Rightarrow$ $2y=-4x+10$ $\Rightarrow$ $y=$ $\frac{-4x+10}{2}$ $\Rightarrow$ $y=-2x+5$

2er équation :

$3x+3y=12$ $\Rightarrow$ $3y=-3x+12$ $\Rightarrow$ $y=$ $\frac{-3x+12}{3}$ $\Rightarrow$ $y=-x+4$

Le système d'équation sera

$\left\{\begin{array}{ll} y&=-2x+5 \\ y&=-x+4 \end{array}\right.$

Alors $-2x+5=-x+4$ $\Rightarrow$ $-2x+x=-5+4$ $\Rightarrow$ $-x=-1$ $\Rightarrow$ $x=1$

* On remplace $x$ par $1$ dans une des $2$ équations précédentes :

Pour la 1er équation :

$y=-2x+5$ $\Rightarrow$ $y=(-2\times(1))+5$ $\Rightarrow$ $y=-2+5$ $\Rightarrow$ $y=3$

Pour la 1er équation :

$y=-x+4$ $\Rightarrow$ $y=(-1)+4$ $\Rightarrow$ $y=3$

Conclusion : la solution est $S= \left \{(1,3) \right \}$.

* Résolution graphique :

Pour résoudre un système d'équation graphiquement il faut représenter chacune des deux droites et étudier leurs intersection

* Si les deux droites sont strictement parallèles alors pas solution trouvée.

* Si les deux droites sont sécantes alors une seule solution trouvée.

* Si les deux droites sont confondues alors la solution c'est toute la droite.

Soit le système d'équation :
$\left\{ \begin{array}{ll} ax&+&by&+&c&=&0 \\ a'x&+&b'y&+&c'&=&0 \end{array} \right.$

Pour résoudre graphiquement ce système :

Il faut tracer la droite $D$ la représentation graphique de l'équation $ax+by+c=0$ et $D'$ la représentation graphique de l'équation $a'x+b'y+c'=0$.

Ensuite il faut lire sur le graphique les coordonnées du point commun aux deux droites et enfin écrire l'ensemble des solutions.

Important : 
On mettons les deux équations sous la forme $y=ax+b$ on trouve : $D : y=ax+b$ et $D' : y=ax+b$.

$\left\{\begin{array}{ll} y={\color{Magenta}{a}}x+{\color{blue}{b}} & \\ y={\color{Magenta}{a'}}x+{\color{blue}{b'}} & \end{array}\right.$


- Si ${\color{Magenta}{a}}\neq {\color{Magenta}{a'}}$ alors $D$ et $D'$ sont deux droites sécantes, et par la suite il n' y a qu'une seule solution unique. (c'est les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites).

Exemple : 
$\left\{\begin{array}{ll} y={\color{Magenta}{4}}x+{\color{blue}{1}} & \\ y={\color{Magenta}{2}}x-{\color{blue}{3}} & \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{ll} y={\color{Magenta}{-2}}x+{\color{blue}{1}} & \\ y={\color{Magenta}{3}}x+{\color{blue}{1}} & \end{array}\right.$


- Si ${\color{Magenta}{a}}={\color{Magenta}{a'}}$ et ${\color{blue}{b}}\neq {\color{blue}{b'}}$ alors $D$ et $D'$ sont deux droites  parallèles, et par la suite il n y a pas de solution, c'est à dire $S=\varnothing$ ou $S=\{\}$.

Exemple : 
$\left\{\begin{array}{ll} y={\color{Magenta}{-2}}x+{\color{blue}{3}} & \\ y={\color{Magenta}{-2}}x-{\color{blue}{1}} & \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{ll} y={\color{Magenta}{5}}x-{\color{blue}{2}} & \\ y={\color{Magenta}{5}}x+{\color{blue}{1}} & \end{array}\right.$


- Si ${\color{Magenta}{a}}={\color{Magenta}{a'}}$ et ${\color{blue}{b}}={\color{blue}{b'}}$ alors $D$ et $D'$ sont deux droites confondues, et par la suite l'ensemble des solutions est la droite $D$ toute entière.

Exemple : 
$\left\{\begin{array}{ll} y={\color{Magenta}{4}}x+{\color{blue}{2}} & \\ y={\color{Magenta}{\frac{8}{2}}}x+{\color{blue}{2}} & \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{ll} y={\color{Magenta}{-3}}x-{\color{blue}{3}} & \\ y={\color{Magenta}{-3}}x-{\color{blue}{\frac{9}{3}}} & \end{array}\right.$

Exercices corrigés - Systèmes de deux équations à deux inconnues

Systèmes de deux équations à deux inconnues - Corrigées des exercices du manuel scolaire - 1ère année secondaire

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