Cours - Vecteurs et translations - 1ère année secondaire
1ère année secondaire
Vecteurs et translations
Cours
Vecteurs
• Un vecteur →u est un objet mathématique défini par :
- une direction.
- un sens.
- une longueur.
On le représente par une flèche.
• Si on représente cette flèche à partir d'un point A (appelée origine) et qu'on note B son extrémité, donc :
• Deux points A et B pris dans cet ordre constituent le bipoint (A,B) et définissent le vecteur →AB.
• On peut noter le vecteur →AB avec une seule lettre par exemple →u, donc →u=→AB .
Remarque :
Si A=B alors →AB=→AA=→BB=→0, on lit le vecteur nul.
• On dit que (A,B) et (C,D) représentent le même vecteur si [AD]et [BC] ont le même milieu ou encore : AB=CD équivaut à A∗D=B∗C.
• AB=CD équivaut à AC=BD.
• A, B et C non alignés et AB signifie que ABDC est un parallélogramme : attention à l'ordre des lettres.
• A, B et C sont alignés et AB=CD alors AB=CD et A, B, C, D sont alignés.
• A et B deux points, AM=AB équivaut à M=B.
• I le milieu de [AB] signifie que Al=IB.
Translations
Définition :
Soit →u un vecteur fixé, on appelle translation de vecteur →u, qu'on note t→u, l'application du plan dans lui-mêMe qui à tout point M on associe le point M′ tel que →MM′=→u
Remarque : Si →u=→0 alors t→0 = Identité du plan.
Propriétés :
Toute translation conserve :
* les distances : AB=A′B′
* les mesures des angles ^ABC=^A′B′C′
* l'alignement : A, B, C alignés alors A′, B′ et C′ alignés
* le milieu d'un segment : I=A∗B alors I′=A′∗B′
* le parallélisme : (AB)//(CD) alors (A′B′)//(C′D′)
* l'orthogonalité : (AB)⊥(CD) alors (A′B′)⊥(C′D′)
L'image par une translation :
* d'un segment est un segment.
* d'une droite est une droite parallèle.
* d'un cercle est un cercle de même rayon. t→u(C(O,R)) = cercle de centre t→u(O) et de rayon R.
• Un vecteur →u est un objet mathématique défini par :
- une direction.
- un sens.
- une longueur.
On le représente par une flèche.
• Si on représente cette flèche à partir d'un point A (appelée origine) et qu'on note B son extrémité, donc :
- La direction du vecteur →u est celle de la droite (AB).
- Le sens du vecteur →u est le sens de l'origine A vers l'extrémité B.
- La longueur (appelée norme) du vecteur →u est la longueur AB du segment [AB]. →u=→AB=AB.
- Le vecteur →BA est l'opposé du vecteur →AB. →u=−→AB.
• Deux points A et B pris dans cet ordre constituent le bipoint (A,B) et définissent le vecteur →AB.
• On peut noter le vecteur →AB avec une seule lettre par exemple →u, donc →u=→AB .
Remarque :
Si A=B alors →AB=→AA=→BB=→0, on lit le vecteur nul.
• On dit que (A,B) et (C,D) représentent le même vecteur si [AD]et [BC] ont le même milieu ou encore : AB=CD équivaut à A∗D=B∗C.
• AB=CD équivaut à AC=BD.
• A, B et C non alignés et AB signifie que ABDC est un parallélogramme : attention à l'ordre des lettres.
• A, B et C sont alignés et AB=CD alors AB=CD et A, B, C, D sont alignés.
• A et B deux points, AM=AB équivaut à M=B.
• I le milieu de [AB] signifie que Al=IB.
Translations
Définition :
Soit →u un vecteur fixé, on appelle translation de vecteur →u, qu'on note t→u, l'application du plan dans lui-mêMe qui à tout point M on associe le point M′ tel que →MM′=→u
Remarque : Si →u=→0 alors t→0 = Identité du plan.
Propriétés :
Toute translation conserve :
* les distances : AB=A′B′
* les mesures des angles ^ABC=^A′B′C′
* l'alignement : A, B, C alignés alors A′, B′ et C′ alignés
* le milieu d'un segment : I=A∗B alors I′=A′∗B′
* le parallélisme : (AB)//(CD) alors (A′B′)//(C′D′)
* l'orthogonalité : (AB)⊥(CD) alors (A′B′)⊥(C′D′)
L'image par une translation :
* d'un segment est un segment.
* d'une droite est une droite parallèle.
* d'un cercle est un cercle de même rayon. t→u(C(O,R)) = cercle de centre t→u(O) et de rayon R.
Bien
RépondreSupprimermerci beaucoup messieurs
RépondreSupprimergood
RépondreSupprimer