Correction - Exercice 22 page 148 - Activités numériques I

1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice 22 page 148

Un entier naturel est dit parfait s'il est égal à la somme des ses diviseurs, excepté lui même.

Exemple : \(6\) est parfait car \(1+2+3=6\).

a) Cherchons si \(28\) est parfait.
Cherchons d'abord tous les diviseurs de \(28\)
\(28=\)\(1\)\(\times\)\(28\). ici le nombre \(28\) ne sera pas pris en compte. (Voir en haut la définition d'un nombre parfait)
\(28=\)\(2\)\(\times\)\(14\).
\(28=\)\(4\)\(\times\)\(7\).

Alors :
Les diviseurs de \(28=\left \{ \right.\)\(1\)\(,\)\(2\)\(,\)\(4\)\(,\)\(7\)\(,\)\(14\)\(\left. \right \}\)

Calculons la somme de ces diviseurs :
\(1\)\(+\)\(2\)\(+\)\(4\)\(+\)\(7\)\(+\)\(14\) \(=\) \(28\)

Donc : \(28\) est parfait car \(1\)\(+\)\(2\)\(+\)\(4\)\(+\)\(7\)\(+\)\(14\) \(=\) \(28\)

b) Cherchons si \(625\) est parfait.

Cherchons d'abord tous les diviseurs de \(625\)
\(625=\)\(1\)\(\times\)\(625\). ici le nombre \(625\) ne sera pas pris en compte. (Voir en haut la définition d'un nombre parfait).
\(625=\)\(5\)\(\times\)\(125\).
\(625=\)\(25\)\(\times\)\(25\).

Alors :
Les diviseurs de \(625=\left \{ \right.\)\(1\)\(,\)\(5\)\(,\)\(25\)\(,\)\(125\)\(\left. \right \}\)

Calculons la somme de ces diviseurs :
\(1\)\(+\)\(5\)\(+\)\(25\)\(+\)\(125\) \(=\) \(156\)

Donc : \(625\) n'est pas parfait car \(1\)\(+\)\(5\)\(+\)\(25\)\(+\)\(125\) \(\neq\) \(625\)

c) Cherchons si il est vrai que tout nombre premier est parfait.

Un nombre premier ne peut être divisible que par 1 et par lui-même.
Si on élimine le nombre lui même de l'ensembe des diviseurs car la définition de nombre parfait nous oblige a faire ça, les diviseurs d'un nombre premier excepté de lui même est donc \(1\). La somme est aussi \(1\), et bien sûr \(1\) est diffèrent de ce nombre premier.

Conclusion :
Faux, il n'est pas vrai que tout nombre premier est parfait, mais au contraire un nombre premier ne peut pas être parfait.

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