Correction - Exercice 22 page 148 - Activités numériques I

1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice 22 page 148

Un entier naturel est dit parfait s'il est égal à la somme des ses diviseurs, excepté lui même.

Exemple : $6$ est parfait car $1+2+3=6$.

a) Cherchons si $28$ est parfait.
Cherchons d'abord tous les diviseurs de $28$
$28=$$1$$\times$$28$. ici le nombre $28$ ne sera pas pris en compte. (Voir en haut la définition d'un nombre parfait)
$28=$$2$$\times$$14$.
$28=$$4$$\times$$7$.

Alors :
Les diviseurs de $28=\left \{ \right.$$1$$,$$2$$,$$4$$,$$7$$,$$14$$\left. \right \}$

Calculons la somme de ces diviseurs :
$1$$+$$2$$+$$4$$+$$7$$+$$14$ $=$ $28$

Donc : $28$ est parfait car $1$$+$$2$$+$$4$$+$$7$$+$$14$ $=$ $28$

b) Cherchons si $625$ est parfait.

Cherchons d'abord tous les diviseurs de $625$
$625=$$1$$\times$$625$. ici le nombre $625$ ne sera pas pris en compte. (Voir en haut la définition d'un nombre parfait).
$625=$$5$$\times$$125$.
$625=$$25$$\times$$25$.

Alors :
Les diviseurs de $625=\left \{ \right.$$1$$,$$5$$,$$25$$,$$125$$\left. \right \}$

Calculons la somme de ces diviseurs :
$1$$+$$5$$+$$25$$+$$125$ $=$ $156$

Donc : $625$ n'est pas parfait car $1$$+$$5$$+$$25$$+$$125$ $\neq$ $625$

c) Cherchons si il est vrai que tout nombre premier est parfait.

Un nombre premier ne peut être divisible que par 1 et par lui-même.
Si on élimine le nombre lui même de l'ensembe des diviseurs car la définition de nombre parfait nous oblige a faire ça, les diviseurs d'un nombre premier excepté de lui même est donc $1$. La somme est aussi $1$, et bien sûr $1$ est diffèrent de ce nombre premier.

Conclusion :
Faux, il n'est pas vrai que tout nombre premier est parfait, mais au contraire un nombre premier ne peut pas être parfait.

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