Correction - Exercice 02 page 46 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle

1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

Exercice 02 page 46

Soit $STP$ un triangle rectangle en $S$ et $[SO]$ est une hauteur.

Recopions et complétons le tableau par des valeurs approchées à $0,1$ près des grandeurs demandées.

* 1ère ligne  :

- Cherchons $\widehat{P}$
On a :
$\widehat{P} = 90°-36°=$ $54°$

- Cherchons $ST$

On a :
$cos~\widehat{T} = \frac{ST}{TP}$ $\Rightarrow$

$cos~36° = \frac{ST}{12}$ $\Rightarrow$

$ST = cos~36°\times12$ $\Rightarrow$

$ST = 0,81\times12$ $\Rightarrow$

$ST\approx$ $9,7$

- Cherchons $SP$

On a :
$ST^2+SP^2=TP^2$ $\Rightarrow$

$SP^2=TP^2-ST^2$ $\Rightarrow$

$SP^2=12^2-9,7^2$ $\Rightarrow$

$SP^2=144-94,09$ $\Rightarrow$

$SP^2=49,91$ $\Rightarrow$

$SP^2=\sqrt{49,91}$ $\Rightarrow$

$SP\approx$ $7,1$

- Cherchons $OS$

On a :

$sin~\widehat{P}=\frac{OS}{SP}$ $\Rightarrow$

$sin~54° = \frac{OS}{7,1}$ $\Rightarrow$

$OS = sin~54°\times7,1$ $\Rightarrow$

$OS = 0,81\times7,1$ $\Rightarrow$

$OS\approx$ $5,8$

- Cherchons $OT$

On a :
$cos~\widehat{T} = \frac{OT}{ST}$ $\Rightarrow$

$cos~36° = \frac{OT}{9,7}$ $\Rightarrow$

$OT = cos~36°\times9,7$ $\Rightarrow$

$OT = 0,81\times9,7$ $\Rightarrow$

$OT\approx$ $7,9$

- Cherchons $OP$

On a :
$OP = TP-OT$ $\Rightarrow$

$OP = 12-7,9$ $\Rightarrow$

$OP=$ $4,1$

* 2ème ligne  :

- Cherchons $\widehat{T}$
On a :
$\widehat{T} = 90°-25°=$ $65°$

- Cherchons $SP$

On a :
$tg~\widehat{P} = \frac{ST}{SP}$ $\Rightarrow$

$tg~25° = \frac{7}{SP}$ $\Rightarrow$

$SP = \frac{7}{tg~25°}$ $\Rightarrow$

$SP = \frac{7}{0,47}$ $\Rightarrow$

$SP=$ $14,9$

- Cherchons $TP$

On a :
$TP^2=ST^2+SP^2$$\Rightarrow$

$TP^2=7^2+14,9^2$$\Rightarrow$

$TP^2=49+222,01$$\Rightarrow$

$TP^2=271,01$$\Rightarrow$

$TP^2=\sqrt{271,01}$$\Rightarrow$

$TP\approx$ $16,5$

- Cherchons $OS$
On a :

$sin~\widehat{P}=\frac{OS}{SP}$ $\Rightarrow$

$sin~25° = \frac{OS}{14,9}$ $\Rightarrow$

$OS = sin~25°\times14,9$ $\Rightarrow$

$OS = 0,42\times14,9$ $\Rightarrow$

$OS\approx$ $6,3$

- Cherchons $OT$

On a :
$cos~\widehat{T} = \frac{OT}{ST}$ $\Rightarrow$

$cos~65° = \frac{OT}{7}$ $\Rightarrow$

$OT = \frac{cos~65°}{7}$$\Rightarrow$

$OT = 0,42\times7$ $\Rightarrow$

$OT\approx$ $2,9$

- Cherchons $OP$

On a :
$OP = TP-OT$ $\Rightarrow$

$OP = 16,5-2,9$ $\Rightarrow$

$OP=$ $13,6$

* 3ème ligne  :

- Cherchons $\widehat{P}$
On a :
$\widehat{P} = 90°-50°=$ $40°$

- Cherchons $OT$

On a :
$tg~\widehat{T} = \frac{OS}{OT}$ $\Rightarrow$

$tg~50° = \frac{9,5}{OT}$ $\Rightarrow$

$OT = \frac{9,5}{tg~50°}$$\Rightarrow$

$OT = \frac{9,5}{1,19}$ $\Rightarrow$

$OT\approx$ $8$

- Cherchons $ST$

On a :
$sin~\widehat{T} = \frac{OS}{ST}$ $\Rightarrow$

$sin~50° = \frac{9,5}{ST}$ $\Rightarrow$

$ST = \frac{9,5}{sin~50°}$ $\Rightarrow$

$OT = \frac{9,5}{0,77}$ $\Rightarrow$

$ST\approx$ $12,3$

- Cherchons $SP$

On a :

$sin~\widehat{P}=\frac{OS}{SP}$ $\Rightarrow$

$sin~40° = \frac{9,5}{SP}$ $\Rightarrow$

$SP = \frac{9,5}{sin~40°}$$\Rightarrow$

$SP = \frac{9,5}{0,64}$$\Rightarrow$

$SP\approx$ $14,8$

- Cherchons $TP$

On a :

$TP^2=ST^2+SP^2$ $\Rightarrow$

$TP^2=12,3^2+14,8^2$ $\Rightarrow$

$TP^2=151,29+219,04$ $\Rightarrow$

$TP^2=370,33$ $\Rightarrow$

$TP^2=\sqrt{370,33}$ $\Rightarrow$

$TP\approx$ $19,2$

- Cherchons $OP$

On a :
$OP = TP-OT$ $\Rightarrow$

$OP = 19,2-8$ $\Rightarrow$

$OP=$ $11,2$

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