Correction - Exercice corrigé n°01 - Activités numériques I

1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice corrigé n°01

01 - 
a) Calculer le PGCD(\(84\),\(48\))
Méthode 1 :
On décompose en facteur premier :

\(84\)\(|\)\(2\)

\(42\)\(|\)\(2\)

\(21\)\(|\)\(3\)

\(0\)\(7\)\(|\)\(7\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(84\)\(=\)\(2\times2\times3\times7\)

D’où \(84\)\(=\)\(2^2\)\(\times3\times7\)

\(48\)\(|\)\(2\)

\(24\)\(|\)\(2\)

\(12\)\(|\)\(2\)
\(0\)\(6\)\(|\)\(2\)
\(0\)\(3\)\(|\)\(3\)

\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(48\)\(=\)\(2\times2\times2\times2\times3\)

D’où \(48\)\(=\)\(2^4\)\(\times3\)

Donc : 

\(84\)\(=\)\(2^2\)\(\times3\times7\)

\(48\)\(=\)\(2^4\)\(\times3\)

Conclusion : le PGCD(\(84\), \(48\))\(=\)\(2^2\)\(\times3\)\(=\)\(4\)\(\times3\)\(=\)\(12\)

Méthode 2 : 

On utilise l'algorithme d'Euclide :

\(84=\) ? \(\times\)\(48\)\(+\) ?

\(84=\) \(1\) \(\times\)\(48\)\(+\)\(36\)

\(48=\) ? \(\times\)\(36\)\(+\) ?

\(48=\) \(1\) \(\times\)\(36\)\(+\)\(12\)

\(36=\) ? \(\times\)\(12\)\(+\) ?

\(36=\) \(3\) \(\times\)\(12\)\(+\)\(0\)

Et puisque le dernier reste non nul est \(12\)

Donc : le PGCD(\(84\), \(48\))\(=\)\(12\)




b) Calculer le PGCD(\(532\),\(840\))

Méthode 1 : 

On décompose en facteur premier :

\(532\)\(|\)\(2\)

\(266\)\(|\)\(2\)
\(133\)\(|\)\(7\)

\(0\)\(19\)\(|\)\(19\)

\(00\)\(1\)\(|\)

Alors \(532\)\(=\)\(2\times2\times7\times19\)
D’où \(532\)\(=\)\(2^2\)\(\times7\times19\)

\(840\)\(|\)\(2\)

\(420\)\(|\)\(2\)

\(210\)\(|\)\(2\)
\(105\)\(|\)\(3\)
\(0\)\(35\)\(|\)\(5\)
\(00\)\(7\)\(|\)\(7\)

\(00\)\(1\)\(|\)

Alors \(840\)\(=\)\(2\times2\times2\times3\times5\times7\)

D’où \(840\)\(=\)\(2^3\)\(\times3\times5\times7\)

Donc : 

\(532\)\(=\)\(2^2\)\(\times7\times19\)

\(840\)\(=\)\(2^3\)\(\times3\times5\times7\)

Conclusion : le PGCD(\(532\), \(840\))\(=\)\(2^2\)\(\times7\)\(=\)\(4\)\(\times7\)\(=\)\(28\)

Méthode 2 : 

On utilise l'algorithme d'Euclide :

\(840=\) ? \(\times\)\(532\)\(+\) ?

\(840=\) \(1\) \(\times\)\(532\)\(+\)\(308\)

\(532=\) ? \(\times\)\(308\)\(+\) ?

\(532=\) \(1\) \(\times\)\(308\)\(+\)\(224\)

\(308=\) ? \(\times\)\(224\)\(+\) ?

\(308=\) \(1\) \(\times\)\(224\)\(+\)\(84\)

\(224=\) ? \(\times\)\(84\)\(+\) ?

\(224=\) \(2\) \(\times\)\(84\)\(+\)\(56\)

\(84\) ? \(\times\)\(56\)\(+\) ?

\(84\) \(1\) \(\times\)\(56\)\(+\)\(28\)

\(56\) ? \(\times\)\(28\)\(+\) ?

\(56\) \(2\) \(\times\)\(28\)\(+\)\(0\)

Et puisque le dernier reste non nul est \(28\)

Donc : le PGCD(\(532\), \(840\))\(=\)\(28\)



c) Calculer le PGCD(\(12\),\(57\))

Méthode 1 : 

On décompose en facteur premier :

\(12\)\(|\)\(2\)

\(0\)\(6\)\(|\)\(2\)
\(0\)\(3\)\(|\)\(3\)

\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(12\)\(=\)\(2\times2\times3\)
D’où \(12\)\(=\)\(2^2\)\(\times3\)

\(57\)\(|\)\(3\)

\(19\)\(|\)\(19\)

\(0\)\(1\)\(|\)

D’où \(57\)\(=\)\(\times3\times19\)

Donc : 

\(12\)\(=\)\(2^2\)\(\times3\)

\(57\)\(=\)\(3\times19\)

Conclusion : le PGCD(\(12\), \(57\))\(=\)\(3\)

Méthode 2 : 

On utilise l'algorithme d'Euclide :

\(57=\) ? \(\times\)\(12\)\(+\) ?

\(57=\) \(4\) \(\times\)\(12\)\(+\)\(9\)

\(12=\) ? \(\times\)\(9\)\(+\) ?

\(12=\) \(1\) \(\times\)\(9\)\(+\)\(3\)

\(9=\) ? \(\times\)\(3\)\(+\) ?

\(9=\) \(3\) \(\times\)\(3\)\(+\)\(0\)

Et puisque le dernier reste non nul est \(3\)

Donc : le PGCD(\(12\), \(57\))\(=\)\(3\)

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