Correction - Exercice corrigé n°01 - Activités numériques I

1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice corrigé n°01

01 - 
a) Calculer le PGCD($84$,$48$)
Méthode 1 :
On décompose en facteur premier :

$84$$|$$2$

$42$$|$$2$

$21$$|$$3$

$0$$7$$|$$7$
$0$$1$$|$

Alors $84$$=$$2\times2\times3\times7$

D’où $84$$=$$2^2$$\times3\times7$

$48$$|$$2$

$24$$|$$2$

$12$$|$$2$
$0$$6$$|$$2$
$0$$3$$|$$3$

$0$$1$$|$

Alors $48$$=$$2\times2\times2\times2\times3$

D’où $48$$=$$2^4$$\times3$

Donc : 

$84$$=$$2^2$$\times3\times7$

$48$$=$$2^4$$\times3$

Conclusion : le PGCD($84$, $48$)$=$$2^2$$\times3$$=$$4$$\times3$$=$$12$

Méthode 2 : 

On utilise l'algorithme d'Euclide :

$84=$ ? $\times$$48$$+$ ?

$84=$ $1$ $\times$$48$$+$$36$

$48=$ ? $\times$$36$$+$ ?

$48=$ $1$ $\times$$36$$+$$12$

$36=$ ? $\times$$12$$+$ ?

$36=$ $3$ $\times$$12$$+$$0$

Et puisque le dernier reste non nul est $12$

Donc : le PGCD($84$, $48$)$=$$12$




b) Calculer le PGCD($532$,$840$)

Méthode 1 : 

On décompose en facteur premier :

$532$$|$$2$

$266$$|$$2$
$133$$|$$7$

$0$$19$$|$$19$

$00$$1$$|$

Alors $532$$=$$2\times2\times7\times19$
D’où $532$$=$$2^2$$\times7\times19$

$840$$|$$2$

$420$$|$$2$

$210$$|$$2$
$105$$|$$3$
$0$$35$$|$$5$
$00$$7$$|$$7$

$00$$1$$|$

Alors $840$$=$$2\times2\times2\times3\times5\times7$

D’où $840$$=$$2^3$$\times3\times5\times7$

Donc : 

$532$$=$$2^2$$\times7\times19$

$840$$=$$2^3$$\times3\times5\times7$

Conclusion : le PGCD($532$, $840$)$=$$2^2$$\times7$$=$$4$$\times7$$=$$28$

Méthode 2 : 

On utilise l'algorithme d'Euclide :

$840=$ ? $\times$$532$$+$ ?

$840=$ $1$ $\times$$532$$+$$308$

$532=$ ? $\times$$308$$+$ ?

$532=$ $1$ $\times$$308$$+$$224$

$308=$ ? $\times$$224$$+$ ?

$308=$ $1$ $\times$$224$$+$$84$

$224=$ ? $\times$$84$$+$ ?

$224=$ $2$ $\times$$84$$+$$56$

$84$ ? $\times$$56$$+$ ?

$84$ $1$ $\times$$56$$+$$28$

$56$ ? $\times$$28$$+$ ?

$56$ $2$ $\times$$28$$+$$0$

Et puisque le dernier reste non nul est $28$

Donc : le PGCD($532$, $840$)$=$$28$



c) Calculer le PGCD($12$,$57$)

Méthode 1 : 

On décompose en facteur premier :

$12$$|$$2$

$0$$6$$|$$2$
$0$$3$$|$$3$

$0$$1$$|$

Alors $12$$=$$2\times2\times3$
D’où $12$$=$$2^2$$\times3$

$57$$|$$3$

$19$$|$$19$

$0$$1$$|$

D’où $57$$=$$\times3\times19$

Donc : 

$12$$=$$2^2$$\times3$

$57$$=$$3\times19$

Conclusion : le PGCD($12$, $57$)$=$$3$

Méthode 2 : 

On utilise l'algorithme d'Euclide :

$57=$ ? $\times$$12$$+$ ?

$57=$ $4$ $\times$$12$$+$$9$

$12=$ ? $\times$$9$$+$ ?

$12=$ $1$ $\times$$9$$+$$3$

$9=$ ? $\times$$3$$+$ ?

$9=$ $3$ $\times$$3$$+$$0$

Et puisque le dernier reste non nul est $3$

Donc : le PGCD($12$, $57$)$=$$3$

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