Correction - Exercice 05 page 147 - Activités numériques I

1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice 05 page 147

Rendre les fractions suivantes irréductibles.

\(\frac{110}{3300}\)

Pour rendre une fraction irréductible, il faut calculer le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, puis simplifier la fraction par le PGCD trouvé.

\(\frac{110}{3300}\) :

* Déterminons le PGCD (\(110\),\(3300\)) par la méthode de décomposition en facteurs premiers :

On décompose en facteur premier :

\(110\)\(|\)\(2\)
  \(55\)\(|\)\(5\)
  \(11\)\(|\)\(11\)
    \(1\)\(|\)

Alors

\(110\)\(=\)\(2\times5\times11\)

\(3300\)\(|\)\(2\)
\(1650\)\(|\)\(2\)
  \(825\)\(|\)\(3\)
  \(275\)\(|\)\(5\)
    \(55\)\(|\)\(5\)
    \(11\)\(|\)\(11\)
      \(1\)\(|\)

Alors 
\(3300\)\(=\)\(2\times2\times3\times5\times5\times11\)

D'où 
\(3300\)\(=\)\(2^2\times3\times5^3\times11\)



Donc : 

\(110\)\(=\)\(2\times5\times11\)
et
\(3300\)\(=\)\(2^2\times3\times5^3\times11\)

Conclusion : 

Le PGCD(\(110\), \(3300\))\(=\)\(2\times5\times11\)\(=\)\(110\).

* Simplifions la fraction par le PGCD trouvé :
\(\frac{110\div \color{Magenta}{110}}{3300\div \color{Magenta}{110}}=\color{Purple}{\frac{1}{30}}\).

\(\frac{2^3\times3^4\times5}{2\times\color{Green}{360}}\) :

On décompose le nombre \(\color{Green}{360}\) en facteur premier :\(360\)\(|\)\(2\)
\(180\)\(|\)\(2\)
  \(90\)\(|\)\(2\)
  \(45\)\(|\)\(3\)
  \(15\)\(|\)\(3\)
    \(5\)\(|\)\(5\)
    \(1\)\(|\)

Alors 
\(360\)\(=\)\(2\times2\times2\times3\times3\times5\)

D'où 
\(360\)\(=\)\(2^3\times3^2\times5\)

Et par la suite :
\(\frac{2^3\times3^4\times5}{2\times\color{Magenta}{360}}=\frac{2^3\times3^4\times5}{2\times\color{Magenta}{2^3\times3^2\times5}}=\frac{2^3\times3^4\times5}{2^4\times3^2\times5}=\frac{3^2}{2}=\color{Purple}{\frac{9}{2}}\).

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