Correction - Exercice 05 page 147 - Activités numériques I

1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice 05 page 147

Rendre les fractions suivantes irréductibles.

$\frac{110}{3300}$

Pour rendre une fraction irréductible, il faut calculer le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, puis simplifier la fraction par le PGCD trouvé.

$\frac{110}{3300}$ :

* Déterminons le PGCD ($110$,$3300$) par la méthode de décomposition en facteurs premiers :

On décompose en facteur premier :

$110$$|$$2$
  $55$$|$$5$
  $11$$|$$11$
    $1$$|$

Alors

$110$$=$$2\times5\times11$

$3300$$|$$2$
$1650$$|$$2$
  $825$$|$$3$
  $275$$|$$5$
    $55$$|$$5$
    $11$$|$$11$
      $1$$|$

Alors 
$3300$$=$$2\times2\times3\times5\times5\times11$

D'où 
$3300$$=$$2^2\times3\times5^3\times11$



Donc : 

$110$$=$$2\times5\times11$
et
$3300$$=$$2^2\times3\times5^3\times11$

Conclusion : 

Le PGCD($110$, $3300$)$=$$2\times5\times11$$=$$110$.

* Simplifions la fraction par le PGCD trouvé :
$\frac{110\div \color{Magenta}{110}}{3300\div \color{Magenta}{110}}=\color{Purple}{\frac{1}{30}}$.

$\frac{2^3\times3^4\times5}{2\times\color{Green}{360}}$ :

On décompose le nombre $\color{Green}{360}$ en facteur premier :$360$$|$$2$
$180$$|$$2$
  $90$$|$$2$
  $45$$|$$3$
  $15$$|$$3$
    $5$$|$$5$
    $1$$|$

Alors 
$360$$=$$2\times2\times2\times3\times3\times5$

D'où 
$360$$=$$2^3\times3^2\times5$

Et par la suite :
$\frac{2^3\times3^4\times5}{2\times\color{Magenta}{360}}=\frac{2^3\times3^4\times5}{2\times\color{Magenta}{2^3\times3^2\times5}}=\frac{2^3\times3^4\times5}{2^4\times3^2\times5}=\frac{3^2}{2}=\color{Purple}{\frac{9}{2}}$.

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