Correction - Exercice 15 page 148 - Activités numériques I

1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice 15 page 148

1- Choisissons \(a\), \(b\) et \(c\) trois multiples consécutifs de \(8\).

\(8, 16, 24\) sont \(3\) entiers multiples consécutifs de \(8\).

Calculons \(b^2– ac\).

\(b^2– ac\) \(=\) \(16^2-(8\times24)\) \(=\) \(256-192\) \(=\) \(64\) \(=\) \(8^2\).

2- Recommençons avec trois autres entiers.

\(16, 24, 32\) sont \(3\) entiers multiples consécutifs de \(8\).

Calculons \(b^2– ac\).

\(b^2– ac\) \(=\) \(24^2-(16\times32)\) \(=\) \(576-512\) \(=\) \(64\) \(=\) \(8^2\).

3- Généralisons.

\(a, b, c\) sont \(3\) entiers multiples consécutifs de \(8\) signifie que :
\(a\) \(=\) \(8x\) où \(x\) est un entier naturel.
\(b\) \(=\) \(8(x+1)\) où \(x\) est un entier naturel.
\(c\) \(=\) \(8(x+2)\) où \(x\) est un entier naturel.


D'où :
\(b^2– ac\) \(=\) \(({8(x+1)})^2\) \(-\) \((\)\(8x\) \(\times\) \(8(x+2)\)\()\)

\(b^2– ac\) \(=\) \(({8x+8})^2\) \(-\) \((\)\(8x\) \(\times\) \((8x+16)\)\()\)

\(b^2– ac\) \(=\) \(({8x+8})({8x+8})\) \(-\) \((\)\(64x^2+128x\)\()\)

\(b^2– ac\) \(=\) \(64x^2+64x+64x+64\) \(-\) \((\)\(64x^2+128x\)\()\)

\(b^2– ac\) \(=\) \(64x^2+128x+64\) \(-\) \(64x^2-128x\)

\(b^2– ac\) \(=\) \(64\)

Donc :

\(b^2– ac\) \(=\) \(8^2\)

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