Correction - Exercice 19 page 164 - Activités numériques II

1ère année secondaire

Activités numériques II

Exercice 19 page 164

Donnons l'encadrement de l'aire de la partie colorée \(A\).

\(A=\) (Aire du rectangle \(A_1\)) \(-\) (Aire blanche \(A_2\))

D'où \(A_1=a\times b\) et \(A_2=\)\(\frac{1}{4}\) du cercle de rayon \(a\) ; \(A_2=\)\(\frac{\pi \times a^2}{4}\)

Alors

\(A=(a\times b)-(\)\(\frac{\pi \times a^2}{4}\)\()\)

\(A=(a\times b)+(-\)\(\frac{\pi \times a^2}{4}\)\()\)

Et puisque \(2,7 \leqslant a \leqslant 2,8\) et \(3,1 \leqslant b \leqslant 3,2\)

Alors \(2,7 \times 3,1 \leqslant a \times b \leqslant 2,8 \times 3,2\) (car a et b sont positifs)

Donc \(8,37 \leqslant a \times b \leqslant 8,96\)

D'autre part

\(2,7 \leqslant a \leqslant 2,8\) \(\Rightarrow\)

\((2,7)^2 \leqslant a^2 \leqslant (2,8)^2\) \(\Rightarrow\)

\(7,29 \leqslant a^2 \leqslant 7,84\) \(\Rightarrow\)

On additionnant membre à membre on a:

\(7,29 \leqslant a^2 \leqslant 7,84\) \(\Rightarrow\)

\(-\frac{\pi}{4}\) \(\times 7,84 \leqslant\) \(-\frac{\pi \times a^2}{4}\) \(\leqslant\) \(-\frac{\pi}{4}\) \(\times 7,29\)

Donc on a trouvé :

\(8,37 \leqslant a \times b \leqslant 8,96\) et \(-\frac{\pi}{4}\) \(\times 7,84 \leqslant\) \(-\frac{\pi \times a^2}{4}\) \(\leqslant\) \(-\frac{\pi}{4}\) \(\times 7,29\)

Et par la suite

\(8,37\) \(-\frac{\pi}{4}\) \(\times 7,84 \leqslant\) \(a \times b\) \(-\frac{\pi \times a^2}{4}\) \(\leqslant\) \(8,96\) \(-\frac{\pi}{4}\) \(\times 7,29\) \(\Rightarrow\)

\(8,37\) \(-\frac{7,84.\pi}{4}\) \(\leqslant\) A \(\leqslant\) \(8,96\) \(-\frac{7,29.\pi}{4}\) \(\Rightarrow\)

\(2,21\) \(\leqslant\) A \(\leqslant\) \(3,23\)

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