Correction - Exercice 19 page 164 - Activités numériques II

1ère année secondaire

Activités numériques II

Exercice 19 page 164

Donnons l'encadrement de l'aire de la partie colorée $A$.

$A=$ (Aire du rectangle $A_1$) $-$ (Aire blanche $A_2$)

D'où $A_1=a\times b$ et $A_2=$$\frac{1}{4}$ du cercle de rayon $a$ ; $A_2=$$\frac{\pi \times a^2}{4}$

Alors

$A=(a\times b)-($$\frac{\pi \times a^2}{4}$$)$

$A=(a\times b)+(-$$\frac{\pi \times a^2}{4}$$)$

Et puisque $2,7 \leqslant a \leqslant 2,8$ et $3,1 \leqslant b \leqslant 3,2$

Alors $2,7 \times 3,1 \leqslant a \times b \leqslant 2,8 \times 3,2$ (car a et b sont positifs)

Donc $8,37 \leqslant a \times b \leqslant 8,96$

D'autre part

$2,7 \leqslant a \leqslant 2,8$ $\Rightarrow$

$(2,7)^2 \leqslant a^2 \leqslant (2,8)^2$ $\Rightarrow$

$7,29 \leqslant a^2 \leqslant 7,84$ $\Rightarrow$

On additionnant membre à membre on a:

$7,29 \leqslant a^2 \leqslant 7,84$ $\Rightarrow$

$-\frac{\pi}{4}$ $\times 7,84 \leqslant$ $-\frac{\pi \times a^2}{4}$ $\leqslant$ $-\frac{\pi}{4}$ $\times 7,29$

Donc on a trouvé :

$8,37 \leqslant a \times b \leqslant 8,96$ et $-\frac{\pi}{4}$ $\times 7,84 \leqslant$ $-\frac{\pi \times a^2}{4}$ $\leqslant$ $-\frac{\pi}{4}$ $\times 7,29$

Et par la suite

$8,37$ $-\frac{\pi}{4}$ $\times 7,84 \leqslant$ $a \times b$ $-\frac{\pi \times a^2}{4}$ $\leqslant$ $8,96$ $-\frac{\pi}{4}$ $\times 7,29$ $\Rightarrow$

$8,37$ $-\frac{7,84.\pi}{4}$ $\leqslant$ A $\leqslant$ $8,96$ $-\frac{7,29.\pi}{4}$ $\Rightarrow$

$2,21$ $\leqslant$ A $\leqslant$ $3,23$

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