Correction - Exercice 09 page 34 - Théorème de Thalès et sa réciproque
1- Construisons le point \(D\) de \([BC]\) tel que \(\frac{DB}{DC}\) \(=\) \(\frac{1}{2}\).
\(\frac{DB}{DC}\) \(=\) \(\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\)
\(DC\) \(=\) \(2DB\)
Donc \(BC\) \(=\) \(BD+\) \(DC\)\(=\) \(DB+\) \(2DB\) \(=\) \(3DB\).
D'où \(DB\) \(=\) \(\frac{1}{3}\)\(BC\).
Donnons l'abscisse de \(D\) dans le repère \((B, C)\).
2-
Soit \(F\) l'intersection de la parallèle à \((AC)\) passant par \(D\) et la droite \((AB)\).
Soit \(E\) l'intersection de la parallèle à \((AB)\) passant par \(D\) et la droite \((AC)\).
Evaluons chacun des rapports \(\frac{AF}{AB}\) et \(\frac{AE}{AC}\).
* On a \(\frac{AF}{AB}\) \(=\) \(\frac{CD}{BC}\)
Soit \(E\) l'intersection de la parallèle à \((AB)\) passant par \(D\) et la droite \((AC)\).
Evaluons chacun des rapports \(\frac{AF}{AB}\) et \(\frac{AE}{AC}\).
* On a \(\frac{AF}{AB}\) \(=\) \(\frac{CD}{BC}\)
\(\frac{AF}{AB}\) \(=\) \(\frac{2DB}{BC}\)
Et Comme \(DB\) \(=\) \(\frac{1}{3}\)\(BC\), alors :
\(\frac{AF}{AB}\) \(=\) \(\frac{2\times\frac{1}{3}BC}{BC}\) \(\Rightarrow\)
\(\frac{AF}{AB}\) \(=\) \(\frac{\frac{2}{3}BC}{BC}\)\(\Rightarrow\)
\(\frac{AF}{AB}\) \(=\) \(\frac{2}{3}\).
* On a \(\frac{AE}{AC}\) \(=\) \(\frac{BD}{BC}\)
Et Comme \(DB\) \(=\) \(\frac{1}{3}\)\(BC\), alors :
\(\frac{AE}{AC}\) \(=\) \(\frac{\frac{1}{3}BC}{BC}\) \(\Rightarrow\)
\(\frac{AE}{AC}\) \(=\) \(\frac{1}{3}\).
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