Correction - Exercice 15 page 182 - Activités algébriques

1ère année secondaire

Activités algébriques

Exercice 15 page 182

Soit \(KLM\) est un triangle tel que \(KL=n^2-1\) ; \(LM=2n\) et \(KM=n^2+1\)

1- Montrons que le triangle \(KLM\) est rectangle lorsque \(n=2\) ; \(n=3\) ou \(n=4\).

* \(n=2\)  :
\(KL=2^2-1=4-1=3\) ; \(LM=2\times2=4\) ; \(KM=2^2+1=4+1=5\)

Alors \(5^2=4^2+3^2\) (\(25=16+9\))

D'où \(KM^2=LM^2+KL^2\)

Donc le triangle \(KLM\) est rectangle en \(L\).


* \(n=3\)  :
\(KL=3^2-1=9-1=8\) ; \(LM=2\times3=6\) ; \(KM=3^2+1=9+1=10\)

Alors \(10^2=8^2+6^2\) (\(100=64+36\))

D'où \(KM^2=LM^2+KL^2\)

Donc le triangle \(KLM\) est rectangle en \(L\).


* \(n=4\)  :
\(KL=4^2-1=16-1=15\) ; \(LM=2\times4=8\) ; \(KM=4^2+1=16+1=17\)

Alors \(17^2=15^2+8^2\) (\(289=225+64\))

D'où \(KM^2=LM^2+KL^2\)

Donc le triangle \(KLM\) est rectangle en \(L\).

2- Montrons que ce triangle est rectangle pour tout \(n>1\).

Si le triangle \(KLM\) est rectangle en \(L\) alors :

\(KM^2=LM^2+KL^2\) \(\Rightarrow\)

\((n^2+1)^2=(2n)^2+(n^2-1)^2\) \(\Rightarrow\)

\((n^2)^2+2.n^2.1+1^2=4n^2+(n^2)^2-2.n^2.1+1^2\) \(\Rightarrow\)

\(n^4+2n^2+1=4n^2+n^4-2n^2+1\) \(\Rightarrow\)

\(n^4+2n^2+1=n^4+2n^2+1\)

Donc l'égalité est vrai

Si \(n<1\), \(n^2-1<0\) c'est à dire \(KL<0\) ce qui est impossible puisque la distance est toujours positive.

Conclusion :
Pour tout \(n<1\) le triangle \(KLM\) est rectangle en \(L\).

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