Correction - Exercice 15 page 182 - Activités algébriques

1ère année secondaire

Activités algébriques

Exercice 15 page 182

Soit $KLM$ est un triangle tel que $KL=n^2-1$ ; $LM=2n$ et $KM=n^2+1$

1- Montrons que le triangle $KLM$ est rectangle lorsque $n=2$ ; $n=3$ ou $n=4$.

* $n=2$  :
$KL=2^2-1=4-1=3$ ; $LM=2\times2=4$ ; $KM=2^2+1=4+1=5$

Alors $5^2=4^2+3^2$ ($25=16+9$)

D'où $KM^2=LM^2+KL^2$

Donc le triangle $KLM$ est rectangle en $L$.


* $n=3$  :
$KL=3^2-1=9-1=8$ ; $LM=2\times3=6$ ; $KM=3^2+1=9+1=10$

Alors $10^2=8^2+6^2$ ($100=64+36$)

D'où $KM^2=LM^2+KL^2$

Donc le triangle $KLM$ est rectangle en $L$.


* $n=4$  :
$KL=4^2-1=16-1=15$ ; $LM=2\times4=8$ ; $KM=4^2+1=16+1=17$

Alors $17^2=15^2+8^2$ ($289=225+64$)

D'où $KM^2=LM^2+KL^2$

Donc le triangle $KLM$ est rectangle en $L$.

2- Montrons que ce triangle est rectangle pour tout $n>1$.

Si le triangle $KLM$ est rectangle en $L$ alors :

$KM^2=LM^2+KL^2$ $\Rightarrow$

$(n^2+1)^2=(2n)^2+(n^2-1)^2$ $\Rightarrow$

$(n^2)^2+2.n^2.1+1^2=4n^2+(n^2)^2-2.n^2.1+1^2$ $\Rightarrow$

$n^4+2n^2+1=4n^2+n^4-2n^2+1$ $\Rightarrow$

$n^4+2n^2+1=n^4+2n^2+1$

Donc l'égalité est vrai

Si $n<1$, $n^2-1<0$ c'est à dire $KL<0$ ce qui est impossible puisque la distance est toujours positive.

Conclusion :
Pour tout $n<1$ le triangle $KLM$ est rectangle en $L$.

Retour vers: Exercice 15 page 182

Cours - Activités algébriques

Retour vers: Activités algébriques - Corrigées des exercices du manuel scolaire - 1ère année secondaire