Correction - Exercice 19 page 182 - Activités algébriques

1ère année secondaire

Activités algébriques

Exercice 19 page 182

On a :
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$p=$$\frac{a+b+c}{2}$

1- Vérifions la formule lorsque le triangle est rectangle de côtés $3$, $4$ et $5$.

Lorsque le triangle est rectangle de côtés $3$, $4$ et $5$.

on a $p=$$\frac{a+b+c}{2}$$=$$\frac{3+4+5}{2}$$=$$\frac{12}{2}$$=6$

Donc $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ $\Rightarrow$

$S=\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}$ $\Rightarrow$

$S=\sqrt{6\times3\times2\times1}$ $\Rightarrow$

$S=\sqrt{36}$ $\Rightarrow$

$S=6$.

Et puisque La surface d'un triangle rectangle est $\frac{h\times base}{2}$ $=$ $\frac{a\times b}{2}$ $=$ $\frac{3\times4}{2}$ $=$ $\frac{12}{2}$ $=6$.

Donc la formule est vrai

2- Vérifions la formule lorsque le triangle est équilatéral.

Lorsque le triangle est équilatéral $a=b=c$.

on a $p=$$\frac{a+b+c}{2}$$=$$\frac{a+a+a}{2}$$=$$\frac{3a}{2}$.

Donc $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ $\Rightarrow$

$S=\sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{3a}{2}-a)(\frac{3a}{2}-b)(\frac{3a}{2}-c)}$ $\Rightarrow$

$S=\sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{3a}{2}-a)(\frac{3a}{2}-a)(\frac{3a}{2}-a)}$ $\Rightarrow$

$S=\sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{3a}{2}-a)^3}$ $\Rightarrow$

$S=\sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{3a}{2}-\frac{2a}{2})^3}$ $\Rightarrow$

$S=\sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{3a-2a}{2})^3}$ $\Rightarrow$

$S=\sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{a}{2})^3}$ $\Rightarrow$

$S=\sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{a^3}{8})}$ $\Rightarrow$

$S=\sqrt{\frac{3a^4}{16}}$ $\Rightarrow$

$S=$$\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$.

Et puisque La surface d'un triangle équilatéral est $\frac{h\times base}{2}$ avec $h=$ $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ et la base $=a$

Alors $\frac{h\times base}{2}$ $=$ $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a\times a}{2}$ $=$ $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a^2}{2}$ $=$ $\frac{\sqrt{3}a^2}{2}\times \frac{1}{2}$ $=$ $\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$.

Donc la formule est vrai

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