Correction - Exercice 19 page 182 - Activités algébriques

1ère année secondaire

Activités algébriques

Exercice 19 page 182

On a :
\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
\(p=\)\(\frac{a+b+c}{2}\)

1- Vérifions la formule lorsque le triangle est rectangle de côtés \(3\), \(4\) et \(5\).

Lorsque le triangle est rectangle de côtés \(3\), \(4\) et \(5\).

on a \(p=\)\(\frac{a+b+c}{2}\)\(=\)\(\frac{3+4+5}{2}\)\(=\)\(\frac{12}{2}\)\(=6\)

Donc \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) \(\Rightarrow\)

\(S=\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}\) \(\Rightarrow\)

\(S=\sqrt{6\times3\times2\times1}\) \(\Rightarrow\)

\(S=\sqrt{36}\) \(\Rightarrow\)

\(S=6\).

Et puisque La surface d'un triangle rectangle est \(\frac{h\times base}{2}\) \(=\) \(\frac{a\times b}{2}\) \(=\) \(\frac{3\times4}{2}\) \(=\) \(\frac{12}{2}\) \(=6\).

Donc la formule est vrai

2- Vérifions la formule lorsque le triangle est équilatéral.

Lorsque le triangle est équilatéral \(a=b=c\).

on a \(p=\)\(\frac{a+b+c}{2}\)\(=\)\(\frac{a+a+a}{2}\)\(=\)\(\frac{3a}{2}\).

Donc \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) \(\Rightarrow\)

\(S=\sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{3a}{2}-a)(\frac{3a}{2}-b)(\frac{3a}{2}-c)}\) \(\Rightarrow\)

\(S=\sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{3a}{2}-a)(\frac{3a}{2}-a)(\frac{3a}{2}-a)}\) \(\Rightarrow\)

\(S=\sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{3a}{2}-a)^3}\) \(\Rightarrow\)

\(S=\sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{3a}{2}-\frac{2a}{2})^3}\) \(\Rightarrow\)

\(S=\sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{3a-2a}{2})^3}\) \(\Rightarrow\)

\(S=\sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{a}{2})^3}\) \(\Rightarrow\)

\(S=\sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{a^3}{8})}\) \(\Rightarrow\)

\(S=\sqrt{\frac{3a^4}{16}}\) \(\Rightarrow\)

\(S=\)\(\frac{\sqrt{3}a^2}{4}\).

Et puisque La surface d'un triangle équilatéral est \(\frac{h\times base}{2}\) avec \(h=\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}a\) et la base \(=a\)

Alors \(\frac{h\times base}{2}\) \(=\) \(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a\times a}{2}\) \(=\) \(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a^2}{2}\) \(=\) \(\frac{\sqrt{3}a^2}{2}\times \frac{1}{2}\) \(=\) \(\frac{\sqrt{3}a^2}{4}\).

Donc la formule est vrai

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