Correction - Exercice 04 page 46 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle

1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

Exercice 04 page 46

Soit un losange \(ABCD\) et \(I\) son centre, \(AB = 3cm\) et \(\widehat{ABC}=62°\).

a) Déterminons une valeur approchée de \(BI\) et \(AI\) à \(10^-3\) près.
Soit \(AIB\) un triangle rectangle en \(I\) avec \(AB = 3cm\) et \(\widehat{ABI}=\frac{\widehat{ABC}}{2}=31°\).

Cherchons \(BI\) :

On a :
\(cos~\widehat{ABI} = \frac{BI}{AB}\)\(\Rightarrow\)

\(cos~31° = \frac{BI}{3}\) \(\Rightarrow\)

\(BI = cos~31°\times3\) \(\Rightarrow\)

\(BI = 0,86\times3\) \(\Rightarrow\)

\(BI\approx \) \(2,57\)

- Cherchons \(OS\)

On a :

\(sin~\widehat{ABI}=\frac{AI}{AB}\) \(\Rightarrow\)

\(sin~31° = \frac{AI}{3}\) \(\Rightarrow\)

\(AI = sin~31°\times3\) \(\Rightarrow\)

\(AI = 0,52\times3\) \(\Rightarrow\)

\(AI\approx \) \(1,56\)

b) Déduisons une valeur approchée de l'aire de \(ABCD\).

Soit \(S\) = Aire de \(ABCD\)

Et puisque l'aire du losange est égale au produit des diagonales divisé par 2.

Alors \(S\) = \(\frac{AC\times BD}{2}\) = \(\frac{(AI+IC)\times (BI+ID)}{2}\) = \(\frac{2AI\times 2BI}{2}\) = \(AI\times BI\times 2\) = \(2,57\times 1,56\times 2\) \(\approx \)\(8,09\)

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