Correction - Exercice corrigé n°04 - Fonctions linéaires

1ère année secondaire

Fonctions linéaires

Correction - Exercice corrigé n°04

04 - 
a) ${f}$ est une fonction linéaire donc il existe un réel ${a}$ tel que pour tout réel ${x}$, ${f(x) = ax}$

Calculons ${a}$:

On a: ${f(5) = 3}$

Cela veut dire que: si ${x = 5}$ alors ${ax = 3}$

Autrement dit: si ${x = 5}$ alors ${5a = 3}$ d'où: ${a = \color{fuchsia}{3\over 5}}$

Conclusion:
Pour tout réel ${x}$, $${f(x) = {3\over 5}x}$$

b) * Cherchons l'antécédent de ${-7}$
$$\begin{align} {3\over 5}x = -7 & \Rightarrow {x = {-7\over {3\over 5}}} \\ & \Rightarrow {x = {-7 \times {5\over 3}}} \\ & \Rightarrow {x = \color{fuchsia}{-{35\over 3}}} \\ \end{align}$$

Donc l'antécédent de ${-7}$ est égale à $\color{fuchsia}{-{35\over 3}}$

* Cherchons l'antécédent de $\sqrt{3}$ $$\begin{align} {3\over 5}x = \sqrt{3} & \Rightarrow {x = {\sqrt{3}\over {3\over 5}}} \\ & \Rightarrow {x = {\sqrt{3} \times {5\over 3}}} \\ & \Rightarrow {x = \color{fuchsia}{5\sqrt{3}\over 3}} \\ \end{align}$$

Donc l'antécédent de ${\sqrt{3}}$ est égale à $\color{fuchsia}{5\sqrt{3}\over 3}$

c) Pour monter que $f(5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}) = 5f(\sqrt{2}) + 3f(\sqrt{5})$ il suffit de montrer que $f(5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}) - (5f(\sqrt{2}) + 3f(\sqrt{5})) = 0$

Montrons donc que:

$f(5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}) - (5f(\sqrt{2}) + 3f(\sqrt{5})) = 0$

Calculons $f(5\sqrt{2} + 3\sqrt{5})$
$$\begin{align} f(5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}) & = {3\over 5}({5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}}) \\ & = \color{fuchsia}{3\sqrt{2} + {9\sqrt{5}\over 5}} \end{align}$$

Calculons $f(\sqrt{2})$
$$\begin{align} f(\sqrt{2}) & = {3\over 5}\times {\sqrt{2}} \\ & = \color{fuchsia}{3\sqrt{2} \over {5}} \end{align}$$

Calculons $f(\sqrt{5})$
$$\begin{align} f(\sqrt{5}) & = {3\over 5}\times {\sqrt{5}} \\ & = \color{fuchsia}{3\sqrt{5} \over {5}} \end{align}$$

Calculons $f(5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}) - (5f(\sqrt{2}) + 3f(\sqrt{5}))$

$$\begin{align} f(5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}) - (5f(\sqrt{2}) + 3f(\sqrt{5})) & = {3\sqrt{2} + {9\sqrt{5}\over 5}} - (5({3\sqrt{2} \over {5}}) + 3({3\sqrt{5} \over {5}})) \\ & = {3\sqrt{2} + {9\sqrt{5}\over 5}} - ({15\sqrt{2} \over {5}} + {9\sqrt{5} \over {5}}) \\ & = {3\sqrt{2} + {9\sqrt{5}\over 5}} - (3\sqrt{2} + {9\sqrt{5} \over {5}}) \\ & = {3\sqrt{2} + {9\sqrt{5}\over 5}} - 3\sqrt{2} - {9\sqrt{5} \over {5}} \\ & = \color{fuchsia}{0} \end{align}$$

Conclusion:

$$f(5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}) = 5f(\sqrt{2}) + 3f(\sqrt{5})$$

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