Correction - Exercice corrigé n°03 - Activités numériques I

1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice corrigé n°03

03 - 
a) $24\over40$
On Calcule le PGCD($24$,$40$)

On décompose en facteur premier :

$24$$|$$2$

$12$$|$$2$

$0$$6$$|$$2$

$0$$3$$|$$3$
$0$$1$$|$

Alors $24$$=$$2\times2\times2\times3$

D’où $24$$=$$2^3$$\times3$

$40$$|$$2$

$20$$|$$2$

$10$$|$$2$
$0$$5$$|$$5$
$0$$1$$|$

Alors $40$$=$$2\times2\times2\times5$

D’où $40$$=$$2^3$$\times5$

Donc : 

$24$$=$$2^3$$\times3$

$40$$=$$2^3$$\times5$

Conclusion : le PGCD($24$, $40$)$=$$2^3$$=$$8$

On revient a notre fraction et on simplifie par $8$, on trouve :
$24\over40$$=$$24:8\over40:8$$=$$3\over5$

b) $30\over35$
On Calcule le PGCD($30$,$35$)

On décompose en facteur premier :

$30$$|$$2$

$15$$|$$3$

$0$$5$$|$$5$

$0$$1$$|$

Alors $30$$=$$2\times3\times5$

$35$$|$$5$

$7$$|$$7$

$0$$1$$|$

Alors $35$$=$$5\times7$

Donc : 

$30$$=$$2\times3\times5$

$35$$=$$5\times7$

Conclusion : le PGCD($30$, $35$)$=$$5$

On revient a notre fraction et on simplifie par $5$, on trouve :
$30\over35$$=$$30:5\over35:5$$=$$6\over7$

c) $18\over63$
On Calcule le PGCD($18$,$63$)

On décompose en facteur premier :

$18$$|$$2$

$0$$9$$|$$3$

$0$$3$$|$$3$

$0$$1$$|$

Alors $18$$=$$2\times3\times3$

D’où $18$$=$$2$$\times3^2$

$63$$|$$3$

$21$$|$$3$

$0$$7$$|$$7$
$0$$1$$|$

Alors $63$$=$$3\times3\times7$

D’où $63$$=$$3^2$$\times7$

Donc : 

$18$$=$$2\times$$3^2$

$63$$=$$3^2$$\times7$

Conclusion : le PGCD($18$, $63$)$=$$3^2$$=$$9$

On revient a notre fraction et on simplifie par $9$, on trouve :
$18\over63$$=$$18:9\over63:9$$=$$2\over7$

d) $70\over140$
On Calcule le PGCD($70$,$140$)

On décompose en facteur premier :

$70$$|$$2$

$35$$|$$5$

$0$$7$$|$$7$

$0$$1$$|$

Alors $70$$=$$2\times5\times7$

$140$$|$$2$

$70$$|$$2$

$35$$|$$5$
$0$$7$$|$$7$
$0$$1$$|$

Alors $140$$=$$2\times2\times5\times7$

D’où $140$$=$$2^2$$\times5\times7$

Donc : 

$70$$=$$2\times5\times7$

$140$$=$$2^2$$\times5\times7$

Conclusion : le PGCD($70$, $140$)$=$$2$$\times5\times7$$=$$70$

On revient a notre fraction et on simplifie par $70$, on trouve :
$70\over140$$=$$70:70\over140:70$$=$$1\over2$

e) $100\over175$
On Calcule le PGCD($100$,$175$)

On décompose en facteur premier :

$100$$|$$2$

$50$$|$$2$

$25$$|$$5$

$0$$5$$|$$5$
$0$$1$$|$

Alors $100$$=$$2\times2\times5\times5$

D’où $100$$=$$2^2$$\times5^2$

$175$$|$$5$

$25$$|$$5$

$0$$5$$|$$5$
$0$$1$$|$

Alors $175$$=$$5\times5\times5$

D’où $175$$=$$5^3$

Donc : 

$100$$=$$2^2$$\times5^2$

$175$$=$$5^3$

Conclusion : le PGCD($100$, $175$)$=$$5^2$$=$$25$

On revient a notre fraction et on simplifie par $25$, on trouve :
$100\over175$$=$$100:25\over175:25$$=$$4\over5$

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