Correction - Exercice corrigé n°03 - Activités numériques I

1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice corrigé n°03

03 - 
a) \(24\over40\)
On Calcule le PGCD(\(24\),\(40\))

On décompose en facteur premier :

\(24\)\(|\)\(2\)

\(12\)\(|\)\(2\)

\(0\)\(6\)\(|\)\(2\)

\(0\)\(3\)\(|\)\(3\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(24\)\(=\)\(2\times2\times2\times3\)

D’où \(24\)\(=\)\(2^3\)\(\times3\)

\(40\)\(|\)\(2\)

\(20\)\(|\)\(2\)

\(10\)\(|\)\(2\)
\(0\)\(5\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(40\)\(=\)\(2\times2\times2\times5\)

D’où \(40\)\(=\)\(2^3\)\(\times5\)

Donc : 

\(24\)\(=\)\(2^3\)\(\times3\)

\(40\)\(=\)\(2^3\)\(\times5\)

Conclusion : le PGCD(\(24\), \(40\))\(=\)\(2^3\)\(=\)\(8\)

On revient a notre fraction et on simplifie par \(8\), on trouve :
\(24\over40\)\(=\)\(24:8\over40:8\)\(=\)\(3\over5\)

b) \(30\over35\)
On Calcule le PGCD(\(30\),\(35\))

On décompose en facteur premier :

\(30\)\(|\)\(2\)

\(15\)\(|\)\(3\)

\(0\)\(5\)\(|\)\(5\)

\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(30\)\(=\)\(2\times3\times5\)

\(35\)\(|\)\(5\)

\(7\)\(|\)\(7\)

\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(35\)\(=\)\(5\times7\)

Donc : 

\(30\)\(=\)\(2\times3\times5\)

\(35\)\(=\)\(5\times7\)

Conclusion : le PGCD(\(30\), \(35\))\(=\)\(5\)

On revient a notre fraction et on simplifie par \(5\), on trouve :
\(30\over35\)\(=\)\(30:5\over35:5\)\(=\)\(6\over7\)

c) \(18\over63\)
On Calcule le PGCD(\(18\),\(63\))

On décompose en facteur premier :

\(18\)\(|\)\(2\)

\(0\)\(9\)\(|\)\(3\)

\(0\)\(3\)\(|\)\(3\)

\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(18\)\(=\)\(2\times3\times3\)

D’où \(18\)\(=\)\(2\)\(\times3^2\)

\(63\)\(|\)\(3\)

\(21\)\(|\)\(3\)

\(0\)\(7\)\(|\)\(7\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(63\)\(=\)\(3\times3\times7\)

D’où \(63\)\(=\)\(3^2\)\(\times7\)

Donc : 

\(18\)\(=\)\(2\times\)\(3^2\)

\(63\)\(=\)\(3^2\)\(\times7\)

Conclusion : le PGCD(\(18\), \(63\))\(=\)\(3^2\)\(=\)\(9\)

On revient a notre fraction et on simplifie par \(9\), on trouve :
\(18\over63\)\(=\)\(18:9\over63:9\)\(=\)\(2\over7\)

d) \(70\over140\)
On Calcule le PGCD(\(70\),\(140\))

On décompose en facteur premier :

\(70\)\(|\)\(2\)

\(35\)\(|\)\(5\)

\(0\)\(7\)\(|\)\(7\)

\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(70\)\(=\)\(2\times5\times7\)

\(140\)\(|\)\(2\)

\(70\)\(|\)\(2\)

\(35\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(7\)\(|\)\(7\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(140\)\(=\)\(2\times2\times5\times7\)

D’où \(140\)\(=\)\(2^2\)\(\times5\times7\)

Donc : 

\(70\)\(=\)\(2\times5\times7\)

\(140\)\(=\)\(2^2\)\(\times5\times7\)

Conclusion : le PGCD(\(70\), \(140\))\(=\)\(2\)\(\times5\times7\)\(=\)\(70\)

On revient a notre fraction et on simplifie par \(70\), on trouve :
\(70\over140\)\(=\)\(70:70\over140:70\)\(=\)\(1\over2\)

e) \(100\over175\)
On Calcule le PGCD(\(100\),\(175\))

On décompose en facteur premier :

\(100\)\(|\)\(2\)

\(50\)\(|\)\(2\)

\(25\)\(|\)\(5\)

\(0\)\(5\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(100\)\(=\)\(2\times2\times5\times5\)

D’où \(100\)\(=\)\(2^2\)\(\times5^2\)

\(175\)\(|\)\(5\)

\(25\)\(|\)\(5\)

\(0\)\(5\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(175\)\(=\)\(5\times5\times5\)

D’où \(175\)\(=\)\(5^3\)

Donc : 

\(100\)\(=\)\(2^2\)\(\times5^2\)

\(175\)\(=\)\(5^3\)

Conclusion : le PGCD(\(100\), \(175\))\(=\)\(5^2\)\(=\)\(25\)

On revient a notre fraction et on simplifie par \(25\), on trouve :
\(100\over175\)\(=\)\(100:25\over175:25\)\(=\)\(4\over5\)

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