Correction - Exercice corrigé n°04 - Activités numériques I

1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice corrigé n°04

04 - 

Il ne faut pas confondre entre des nombres premiers et deux nombres premiers entre eux,

Deux nombres sont premiers entre eux si est seulement si leurs PGCD est égale à 1.

a) \(60\) et \(67\)

On Calcule le PGCD(\(60\),\(67\))

On utilise l'algorithme d'Euclide (Les divisions successives) :

\(67=\) ? \(\times\)\(60\)\(+\) ?

\(67=\) \(1\) \(\times\)\(60\)\(+\)\(7\)

\(60=\) ? \(\times\)\(7\)\(+\) ?

\(60=\) \(8\) \(\times\)\(7\)\(+\)\(4\)

\(7=\) ? \(\times\)\(4\)\(+\) ?

\(7=\) \(1\) \(\times\)\(4\)\(+\)\(3\)

\(4=\) ? \(\times\)\(3\)\(+\) ?

\(4=\) \(1\) \(\times\)\(3\)\(+\)\(1\)

\(3=\) ? \(\times\)\(1\)\(+\) ?

\(3=\) \(3\) \(\times\)\(1\)\(+\)\(0\)

Et puisque le dernier reste non nul est \(1\)

Donc : le PGCD(\(60\), \(67\))\(=\)\(1\)

Et par la suite : les nombres \(60\) et \(67\) sont premiers entre eux car leurs PGCD est égale à \(1\)

b) \(91\) et \(117\)

On Calcule le PGCD(\(91\),\(117\))

On utilise l'algorithme d'Euclide (Les divisions successives) :

\(117=\) ? \(\times\)\(91\)\(+\) ?

\(117=\) \(1\) \(\times\)\(91\)\(+\)\(26\)

\(91=\) ? \(\times\)\(26\)\(+\) ?

\(91=\) \(3\) \(\times\)\(26\)\(+\)\(13\)

\(26=\) ? \(\times\)\(13\)\(+\) ?

\(26=\) \(2\) \(\times\)\(13\)\(+\)\(0\)

Et puisque le dernier reste non nul est \(13\)

Donc : le PGCD(\(91\),\(117\))\(=\)\(13\)

Et par la suite : les nombres \(91\) et \(117\) ne sont pas premiers entre eux car leurs PGCD est diffèrent de \(1\)

c) \(27\) et \(23\)

On Calcule le PGCD(\(27\),\(23\))

On utilise l'algorithme d'Euclide (Les divisions successives) :

\(27=\) ? \(\times\)\(23\)\(+\) ?

\(27=\) \(1\) \(\times\)\(23\)\(+\)\(4\)

\(23=\) ? \(\times\)\(4\)\(+\) ?

\(23=\) \(5\) \(\times\)\(4\)\(+\)\(3\)

\(4=\) ? \(\times\)\(3\)\(+\) ?

\(4=\) \(1\) \(\times\)\(3\)\(+\)\(1\)

\(3=\) ? \(\times\)\(1\)\(+\) ?

\(3=\) \(3\) \(\times\)\(1\)\(+\)\(0\)

Et puisque le dernier reste non nul est \(1\)

Donc : le PGCD(\(27\),\(23\))\(=\)\(1\)

Et par la suite : les nombres \(27\) et \(23\) sont premiers entre eux car leurs PGCD est égale à \(1\)

d) \(42\) et \(25\)

On Calcule le PGCD(\(42\),\(25\))

On utilise l'algorithme d'Euclide (Les divisions successives) :

\(42=\) ? \(\times\)\(25\)\(+\) ?

\(42=\) \(1\) \(\times\)\(25\)\(+\)\(17\)

\(25=\) ? \(\times\)\(17\)\(+\) ?

\(25=\) \(1\) \(\times\)\(17\)\(+\)\(8\)

\(17=\) ? \(\times\)\(8\)\(+\) ?

\(17=\) \(2\) \(\times\)\(8\)\(+\)\(1\)

\(8=\) ? \(\times\)\(1\)\(+\) ?

\(8=\) \(8\) \(\times\)\(1\)\(+\)\(0\)

Et puisque le dernier reste non nul est \(1\)

Donc : le PGCD(\(42\),\(25\))\(=\)\(1\)

Et par la suite : les nombres \(42\) et \(25\) sont premiers entre eux car leurs PGCD est égale à \(1\)

e) \(56\) et \(70\)

On Calcule le PGCD(\(56\),\(70\))

On utilise l'algorithme d'Euclide (Les divisions successives) :

\(70=\) ? \(\times\)\(56\)\(+\) ?

\(70=\) \(1\) \(\times\)\(56\)\(+\)\(14\)

\(56=\) ? \(\times\)\(14\)\(+\) ?

\(56=\) \(4\) \(\times\)\(14\)\(+\)\(0\)

Et puisque le dernier reste non nul est \(14\)

Donc : le PGCD(\(56\),\(70\))\(=\)\(14\)

Et par la suite : les nombres \(56\) et \(70\) ne sont pas premiers entre eux car leurs PGCD est diffèrent de \(1\)

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