Correction - Exercice 01 page 33 - Théorème de Thalès et sa réciproque

1ère année secondaire

Théorème de Thalès et sa réciproque

Exercice 01 page 33

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $3cm$. $I$, $J$ et $K$ sont les milieux respectifs des segments $[AB]$, $[BC]$ et $[AC]$.

1- Montrons que $IJK$ est un triangle équilatéral.

On a :

$AB$ $=$  $CB$ $=$  $AC$ $=$  $3cm$.

Et on a :

$KJ$ $=$ $\frac{1}{2}$$.AB$ $=$ $\frac{1}{2}$$\times3$ $=$ $\frac{3}{2}$$=1,5cm$.

$KI$ $=$ $\frac{1}{2}$$.CB$ $=$ $\frac{1}{2}$$\times3$ $=$ $\frac{3}{2}$$=1,5cm$.

$IJ$ $=$ $\frac{1}{2}$$.AC$ $=$ $\frac{1}{2}$$\times3$ $=$ $\frac{3}{2}$$=1,5cm$.

D'où $KJ$ $=$ $KI$ $=$ $IJ$

Donc le triangle $IJK$ est un triangle équilatéral de côté $1,5cm$.

2- Calculons le périmètre et l'aire de $IJK$.
Soit $P$ le périmètre de $IJK$
$P=KJ+KI+IJ=3\times1,5=4,5cm$.

Soit $A$ l'aire de triangle $IJK$, $KH$ l'hauteur et $IJ$ la base $(IJ=1,5cm)$.

$A=$$\frac{IJ\times KH}{2}$.

Comme $KHJ$ est un triangle rectangle, alors $KJ^2=KH^2+HJ^2$

D'où $KH^2=KJ^2-HJ^2$

Et par la suite $KH=$$\sqrt{KJ^2-{\color{Red} {HJ}}^2}=\sqrt{1,5^2-{\color{Red}{0,75}}^2}$
($HJ=$$\frac{1}{2}$$IJ=$0,75cm)

Donc $KH=$$\sqrt{2,25-0,5625}=1,299cm$

$A=$ $\frac{IJ\times KH}{2}$ $=$ $\frac{1,5\times 1,299}{2}$ $=$ $\frac{1,949}{2}$$=$ $0,97cm^2$

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