Correction - S'auto-évaluer Recopier et compléter page 32 - Théorème de Thalès et sa réciproque

1ère année secondaire

Théorème de Thalès et sa réciproque

S'auto-évaluer Recopier et compléter page 32

a) $\frac{EF}{BC}$ $=$ ...
On a $\frac{AE}{AB}$ $=$ $\frac{1}{3}$

Et $\frac{AF}{AC}$ $=$ $\frac{1}{3}$

Alors $\frac{AE}{AB}$ $=$ $\frac{AF}{AC}$

D'où par la réciproque du théorème de Thalès on a $EF$ $//$ $BC$.

Et par la suite $\frac{EF}{BC}$ $=$ $\frac{AE}{AB}$ $=$ $\frac{AF}{AC}$ $=$ $\frac{1}{3}$

Conclusion :
$\frac{EF}{BC}$ $=$ $\frac{1}{3}$.


b) Comparer $EF$ et $KL$.

On a $\frac{EF}{BC}$ $=$ $\frac{1}{3}$

Et $\frac{KL}{BC}$ $=$ $\frac{1}{3}$

Alors $\frac{EF}{BC}$ $=$ $\frac{KL}{BC}$

D'où $EF$ $=$ $KL$


c) Le périmètre de $EFJLKI$ est égal aux ... du périmètre de $ABC$.
On a prouvé dans b) que $EF$ $=$ $KL$, et c'est la même chose pour $EI$ et $JL$, ainsi que $FJ$ et $IK$.

C'est à dire $EF$ $=$ $KL$, $EI$ $=$ $JL$, $FJ$ $=$ $IK$

Soit $P_1$ le périmètre de $EFJLKI$.

$P_1=$ $EF$ $+$ $FJ$ $+$ $JL$ $+$ $LK$ $+$ $KI$ $+$ $IE$ $\Rightarrow$

$P_1=$ $2EF$ $+$ $2FJ$ $+$ $2JL$ $\Rightarrow$

$P_1=$ $\frac{2}{3}$$BC$ $+$ $\frac{2}{3}$$AC$ $+$ $\frac{2}{3}$$AB$ $\Rightarrow$

$P_1=$ $\frac{2}{3}$$($$BC$ $+$ $AC$ $+$ $AB$$)$ $\Rightarrow$

$P_1=$ $\frac{2}{3}$$($périmètre de $ABC$$)$

Conclusion :

Le périmètre de $EFJLKI$ est égal aux $\frac{2}{3}$ du périmètre de $ABC$.

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