Correction - Exercice 08 page 208 - Equations et inéquations du premier degré à une inconnue

1ère année secondaire 

Equations et inéquations du premier degré à une inconnue 

Exercice 08 page 208 

1- Développons \((x + 1)(x + 2)\)  :
\((x + 1)(x + 2)=x^2 + 2x + x + 2=x^2 + 3x + 2\).

2- On pose \(A(x) = x^2(x + 3) + 2x\) et \(B(x) = x^3 + 1\) :
a) Factorisons \(A(x)\) et \(B(x)\) :

\(A(x)=x^2(x+3)+2x=x[x(x+3)+2]=x(x^2+3x+2)=x(x+1)(x+2)\).

\(B(x)=x^3+1=x^3+1^3=(x+1)(x^2-1.x+1^2)=(x+1)(x^2-x+1)\)(Identité remarquable \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\))

b) Résoudrons l'équation \(A(x) + 2B(x) = 0\) :
\(A(x)+2B(x)=0\) \(\Rightarrow\)
\(x(x+1)(x+2) + 2((x+1)(x^2-x+1))=0\) \(\Rightarrow\)
\((x+1)(x(x+2) + 2(x^2-x+1))=0\) \(\Rightarrow\)
\((x+1)(x^2+2x + 2x^2-2x+2)=0\) \(\Rightarrow\)
\((x+1)(3x^2+2)=0\) \(\Rightarrow\)

\(x+1=0\) ou \(3x^2+2=0\) \(\Rightarrow\)
\(x=-1\) ou \(3x^2=-2\) Impossible puisque le carré d'un réel est toujours positif .

Donc \(S_\mathbb{R}=\{-1\}\).

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