Correction - Exercice 11 page 209 - Equations et inéquations du premier degré à une inconnue

1ère année secondaire 

Equations et inéquations du premier degré à une inconnue 

Exercice 11 page 209 

On veut construire la figure ci-contre de sorte que \(ABC\) soit un triangle isocèle en \(A\), \(AB=13cm\), \(BC=10cm\) et \(MNPQ\) soit un rectangle de périmètre \(22cm\).

On pose \(BM = x\).

1- Calculons \(AH\) :
Dans le triangle rectangle \(AHB\) et d'après Pythagore on a : 
\(AB^2=AH^2+HB^2\)

D'où  \(AH^2=AB^2-HB^2\) 

C'est à dire \(AH^2=13^2-5^2\) puisque \(HB=\frac{10}{2}\). 

Et par la suite \(AH^2=169-25\) 

Alors \(AH^2=144\) 

Donc \(AH=\sqrt{144}=12~cm\).

2- Exprimons \(QP\) et \(QM\) en fonction de \(x\) :
* On \(QP=MN=BC-x-x=BC-2x=10-2x\)

* Dans le triangle rectangle \(AHB\) et d'après Thalès on a : \(\frac{BM}{BH}=\frac{QM}{AH}\) 

D'où \(QM\times BH=BM\times AH\) Signifie 

\(QM=\frac{BM\times AH}{BH}\) 

Et puisque \(BM=x\),  \(AH=12\) et  \(BH=5\) 

Donc \(QM=\frac{x\times 12}{5}=\frac{12}{5}x\).

3- Calculons \(x\) et réaliser la figure :

On a le périmètre du rectangle \(MNPQ\) est \(22cm\), d'où le demi périmètre égale  à  \(11cm\). Alors \(QP+QM=11\) puisque  (\(QP+QM\) représente le demi périmètre) 

Et par la suite 
\((10-2x)+(\frac{12}{5}x)=11\) signifie 

\(10-2.\frac{5}{5}x+\frac{12}{5}x=11\) signifie

\(10-\frac{10}{5}x+\frac{12}{5}x=11\) signifie

\(10+\frac{2}{5}x=11\) signifie

\(\frac{2}{5}x=11-10\) signifie

\(\frac{2}{5}x=1\) signifie

\(x=\frac{1}{\frac{2}{5}}\) signifie

\(x=\frac{5}{2}~cm\) signifie

\(x=2,5~cm\).

Ainsi on peut réaliser la figure sachant que :
\(AM=x=2,5~cm\).
\(QP=MN=10-2x=10-2(2,5)=5~cm\).
\(QM=PN=\frac{12}{5}x=\frac{12}{5}\times2,5=\frac{30}{5}=6~cm\).

4- Comparons les aires de \(MNPQ\) et \(ABC\) :

Soient \(\mathbf{A_t}\) l'aire du triangle \(ABC\) et \(\mathbf{A_r}\) l'aire du rectangle \(MNPQ\)

\(\mathbf{A_t}=\frac{AH\times BC}{2}=\frac{12\times 10}{2}=\frac{120}{2}=60~cm^2\).

\(\mathbf{A_r}=MN\times QM=5\times 6=30~cm^2\).

Donc \(\mathbf{A_t}=\mathbf{A_r}\times 2\)

Conclusion : L'aire du rectangle \(MNPQ\) est égale à la moitié de celle du triangle \(ABC\).

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