Correction - Exercice corrigé n°04 - Fonctions linéaires

1ère année secondaire

Fonctions linéaires

Correction - Exercice corrigé n°04

04 - 
a) \({f}\) est une fonction linéaire donc il existe un réel \({a}\) tel que pour tout réel \({x}\), \({f(x) = ax}\)

Calculons \({a}\):

On a: \({f(5) = 3}\)

Cela veut dire que: si \({x = 5}\) alors \({ax = 3}\)

Autrement dit: si \({x = 5}\) alors \({5a = 3}\) d'où: \({a = \color{fuchsia}{3\over 5}}\)

Conclusion:
Pour tout réel \({x}\), \[{f(x) = {3\over 5}x}\]

b) * Cherchons l'antécédent de \({-7}\)
\begin{align}
{3\over 5}x = -7 & \Rightarrow {x = {-7\over {3\over 5}}} \\
& \Rightarrow {x = {-7 \times {5\over 3}}} \\
& \Rightarrow {x = \color{fuchsia}{-{35\over 3}}} \\
\end{align}

Donc l'antécédent de \({-7}\) est égale à \(\color{fuchsia}{-{35\over 3}}\)

* Cherchons l'antécédent de \(\sqrt{3}\)\begin{align}
{3\over 5}x = \sqrt{3} & \Rightarrow {x = {\sqrt{3}\over {3\over 5}}} \\
& \Rightarrow {x = {\sqrt{3} \times {5\over 3}}} \\
& \Rightarrow {x = \color{fuchsia}{5\sqrt{3}\over 3}} \\
\end{align}

Donc l'antécédent de \({\sqrt{3}}\) est égale à \(\color{fuchsia}{5\sqrt{3}\over 3}\)

c) Pour monter que \(f(5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}) = 5f(\sqrt{2}) + 3f(\sqrt{5})\) il suffit de montrer que \(f(5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}) - (5f(\sqrt{2}) + 3f(\sqrt{5})) = 0\)

Montrons donc que:

\(f(5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}) - (5f(\sqrt{2}) + 3f(\sqrt{5})) = 0\)

Calculons \(f(5\sqrt{2} + 3\sqrt{5})\)
\begin{align}
f(5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}) & = {3\over 5}({5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}}) \\
& = \color{fuchsia}{3\sqrt{2} + {9\sqrt{5}\over 5}}
\end{align}

Calculons \(f(\sqrt{2})\)
\begin{align}
f(\sqrt{2}) & = {3\over 5}\times {\sqrt{2}} \\
& = \color{fuchsia}{3\sqrt{2} \over {5}}
\end{align}

Calculons \(f(\sqrt{5})\)
\begin{align}
f(\sqrt{5}) & = {3\over 5}\times {\sqrt{5}} \\
& = \color{fuchsia}{3\sqrt{5} \over {5}}
\end{align}

Calculons \(f(5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}) - (5f(\sqrt{2}) + 3f(\sqrt{5}))\)

\begin{align}
f(5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}) - (5f(\sqrt{2}) + 3f(\sqrt{5})) & = {3\sqrt{2} + {9\sqrt{5}\over 5}} - (5({3\sqrt{2} \over {5}}) + 3({3\sqrt{5} \over {5}})) \\
& = {3\sqrt{2} + {9\sqrt{5}\over 5}} - ({15\sqrt{2} \over {5}} + {9\sqrt{5} \over {5}}) \\
& = {3\sqrt{2} + {9\sqrt{5}\over 5}} - (3\sqrt{2} + {9\sqrt{5} \over {5}}) \\
& = {3\sqrt{2} + {9\sqrt{5}\over 5}} - 3\sqrt{2} - {9\sqrt{5} \over {5}} \\
& = \color{fuchsia}{0}
\end{align}

Conclusion:

\[f(5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}) = 5f(\sqrt{2}) + 3f(\sqrt{5})\]

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