Correction - Exercice corrigé n°05 - Activités numériques I

1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice corrigé n°05

05 - 

a) $a$ $=$ $45$ et $b$ $=$ $75$
* Calculons $a$$\times$$b$

$a$$\times$$b$ $=$ $45$ $\times$ $75$

$a$$\times$$b$ $=$ $3375$

* Calculons le PGCD($a$,$b$)

PGCD($a$,$b$) $=$ PGCD($45$,$75$)

On décompose en facteur premier :

$45$$|$$3$

$15$$|$$3$

$0$$5$$|$$5$

$0$$1$$|$

Alors $45$ $=$ $3\times3\times5$

D’où $45$ $=$ $3^2$$\times5$

$75$$|$$3$

$25$$|$$5$

$0$$5$$|$$5$
$0$$1$$|$

Alors $75$ $=$ $3\times5\times5$

D’où $75$ $=$ $3$$\times5^2$

Donc : 

$45$ $=$ $3^2$$\times5$

$75$$=$ $3$ $\times5^2$

Conclusion : le PGCD($45$, $75$) $=$ $3$$\times5$ $=$ $15$

* Calculons le PPCM($a$,$b$)

PPCM($a$,$b$) $=$ PPCM($45$,$75$)

On décompose en facteur premier :

On a déjà le résultat :

$45$ $=$ $3^2$$\times5$

$75$ $=$ $3$$\times5^2$

Conclusion : le PPCM($45$, $75$) $=$ $3^2$$\times5^2$ $=$ $9$$\times25$ $=$ $225$

* Calculons le PGCD($a$,$b$) $\times$ PPCM($a$,$b$)

PGCD($a$,$b$) $\times$ PPCM($a$,$b$)$=$ PGCD($45$,$75$) $\times$ PPCM($45$,$75$) $=$ $15$ $\times$ $225$ $=$ $3375$

b) $a$ $=$ $56$ et $b$ $=$ $70$
* Calculons $a$$\times$$b$

$a$$\times$$b$ $=$ $56$ $\times$ $70$

$a$$\times$$b$ $=$ $3920$

* Calculons le PGCD($a$,$b$)

PGCD($a$,$b$) $=$ PGCD($56$,$70$)

On décompose en facteur premier :

$56$$|$$2$

$28$$|$$2$
$14$$|$$2$

$0$$7$$|$$7$

$0$$1$$|$

Alors $56$ $=$ $2\times2\times2\times7$

D’où $56$ $=$ $2^3$$\times7$

$70$$|$$2$

$35$$|$$5$

$0$$7$$|$$7$
$0$$1$$|$

Alors $75$ $=$ $2\times5\times7$

Donc : 

$56$ $=$ $2^3$$\times7$

$75$ $=$ $2\times5\times7$

Conclusion : le PGCD($56$, $70$) $=$ $2\times7$ $=$ $14$

* Calculons le PPCM($a$,$b$)

PPCM($a$,$b$) $=$ PPCM($56$,$70$)

On décompose en facteur premier :

On a déjà le résultat :

$56$ $=$ $2^3$$\times7$

$75$ $=$ $2\times5\times7$

Conclusion : le PPCM($56$, $70$) $=$ $2^3$$\times5\times7$ $=$ $8$$\times35$ $=$ $280$

* Calculons le PGCD($a$,$b$) $\times$ PPCM($a$,$b$)

PGCD($a$,$b$) $\times$ PPCM($a$,$b$)$=$ PGCD($56$,$70$) $\times$ PPCM($56$,$70$) $=$ $14$ $\times$ $280$ $=$ $3920$

c) Pour tout $a$$\in$$\mathbb{N}^{*}$ et $b$$\in$$\mathbb{N}^{*}$ :

* PGCD($a$,$b$) $\times$ PPCM($a$,$b$) $=$ $a$ $\times$ $b$, en déduire le résultat a partir des résultats de a) et b)

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