Correction - Exercice 03 page 19 - Angles
1ère année secondaire
Angles
Exercice 03 page 19
Chacun des triangles rectangles est isocèle.
a)
Montrons que les droites \((OC)\) et \((OA)\) sont perpendiculaires.
On a \(ABO\) un triangle rectangle et isocèle en \(A\), alors \(\widehat{A O B}=\widehat{A B O}=45°\).
Et \(BCO\) un triangle rectangle et isocèle en \(B\), alors \(\widehat{B O C}=\widehat{O C B}=45°\).
Alors \(\widehat{A O C}=\widehat{A O B}+\widehat{B O C}=90°\).
Donc \((OC)\) et \((OA)\) sont perpendiculaires.
Montrons que les points \(E\), \(O\) et \(A\) sont alignés.
On a \(CDO\) un triangle rectangle et isocèle en \(C\), alors \(\widehat{C O D}=\widehat{C D O}=45°\).
Et \(DEO\) un triangle rectangle et isocèle en \(D\), alors \(\widehat{D O E}=\widehat{D E O}=45°\).
Alors \(\widehat{C O E}=\widehat{A O B}+\widehat{D O E}=90°\).
Et par la suite \(\widehat{A O E}=\widehat{A O C}+\widehat{C O E}=90°+90°=180°\).
Donc \(E\), \(O\) et \(A\) sont alignés.
Montrons que les droites \((OB)\) et \((OD)\) sont perpendiculaires.
\(\widehat{B O C}=45°\) ; \(\widehat{C O D}=45°\).
Alors \(\widehat{B O D}=\widehat{B O C}+\widehat{C O D}=45°+45°=90°\).
Donc \((OC)\) et \((OA)\) sont perpendiculaires.
b)
\(OA=1cm\)
Calculons \(OB\) :
D'après la théorème de Pythagore dans un triangle rectangle \(OB^2=OA^2+AB^2\) et puisque le triangle et isocèle alors \(OA=AB\).
Donc
\(OB^2=OA^2+OA^2\) \(\Rightarrow\)
\(OB^2=1^2+1^2\) \(\Rightarrow\)
\(OB^2=1+1\) \(\Rightarrow\)
\(OB^2=2\) \(\Rightarrow\)
\(OB=\sqrt{2}cm\).
Calculons \(OC\) :
\(OC^2=OB^2+BC^2\) \(\Rightarrow\)
\(OC^2=OB^2+OB^2\) \(\Rightarrow\)
\(OC^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2\) \(\Rightarrow\)
\(OC^2=2+2\) \(\Rightarrow\)
\(OC^2=4\) \(\Rightarrow\)
\(OC=\sqrt{4}\) \(\Rightarrow\)
\(OC=2cm\).
Calculons \(OD\) :
\(OD^2=OC^2+CD^2\) \(\Rightarrow\)
\(OD^2=OC^2+OC^2\) \(\Rightarrow\)
\(OD^2=2^2+2^2\) \(\Rightarrow\)
\(OD^2=4+4\) \(\Rightarrow\)
\(OD^2=8\) \(\Rightarrow\)
\(OD=\sqrt{8}cm\).
Calculons \(OE\) :
\(OE^2=OD^2+DE^2\) \(\Rightarrow\)
\(OE^2=OD^2+OD^2\) \(\Rightarrow\)
\(OE^2=(\sqrt{8})^2+(\sqrt{8})^2\) \(\Rightarrow\)
\(OE^2=8+8\) \(\Rightarrow\)
\(OE^2=16\) \(\Rightarrow\)
\(OE=\sqrt{16}\) \(\Rightarrow\)
\(OE=4cm\).
Alors \(\widehat{B O D}=\widehat{B O C}+\widehat{C O D}=45°+45°=90°\).
Donc \((OC)\) et \((OA)\) sont perpendiculaires.
b)
\(OA=1cm\)
Calculons \(OB\) :
D'après la théorème de Pythagore dans un triangle rectangle \(OB^2=OA^2+AB^2\) et puisque le triangle et isocèle alors \(OA=AB\).
Donc
\(OB^2=OA^2+OA^2\) \(\Rightarrow\)
\(OB^2=1^2+1^2\) \(\Rightarrow\)
\(OB^2=1+1\) \(\Rightarrow\)
\(OB^2=2\) \(\Rightarrow\)
\(OB=\sqrt{2}cm\).
Calculons \(OC\) :
\(OC^2=OB^2+BC^2\) \(\Rightarrow\)
\(OC^2=OB^2+OB^2\) \(\Rightarrow\)
\(OC^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2\) \(\Rightarrow\)
\(OC^2=2+2\) \(\Rightarrow\)
\(OC^2=4\) \(\Rightarrow\)
\(OC=\sqrt{4}\) \(\Rightarrow\)
\(OC=2cm\).
Calculons \(OD\) :
\(OD^2=OC^2+CD^2\) \(\Rightarrow\)
\(OD^2=OC^2+OC^2\) \(\Rightarrow\)
\(OD^2=2^2+2^2\) \(\Rightarrow\)
\(OD^2=4+4\) \(\Rightarrow\)
\(OD^2=8\) \(\Rightarrow\)
\(OD=\sqrt{8}cm\).
Calculons \(OE\) :
\(OE^2=OD^2+DE^2\) \(\Rightarrow\)
\(OE^2=OD^2+OD^2\) \(\Rightarrow\)
\(OE^2=(\sqrt{8})^2+(\sqrt{8})^2\) \(\Rightarrow\)
\(OE^2=8+8\) \(\Rightarrow\)
\(OE^2=16\) \(\Rightarrow\)
\(OE=\sqrt{16}\) \(\Rightarrow\)
\(OE=4cm\).
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