Correction - Exercice 03 page 19 - Angles

1ère année secondaire

Angles

Exercice 03 page 19

Chacun des triangles rectangles est isocèle.

a)

Montrons que les droites $(OC)$ et $(OA)$ sont perpendiculaires.

On a $ABO$ un triangle rectangle et isocèle en $A$, alors $\widehat{A O B}=\widehat{A B O}=45°$.

Et $BCO$ un triangle rectangle et isocèle en $B$, alors $\widehat{B O C}=\widehat{O C B}=45°$.

Alors $\widehat{A O C}=\widehat{A O B}+\widehat{B O C}=90°$.

Donc $(OC)$ et $(OA)$ sont perpendiculaires.

Montrons que les points $E$, $O$ et $A$ sont alignés.

On a $CDO$ un triangle rectangle et isocèle en $C$, alors $\widehat{C O D}=\widehat{C D O}=45°$.

Et $DEO$ un triangle rectangle et isocèle en $D$, alors $\widehat{D O E}=\widehat{D E O}=45°$.

Alors $\widehat{C O E}=\widehat{A O B}+\widehat{D O E}=90°$.

Et par la suite $\widehat{A O E}=\widehat{A O C}+\widehat{C O E}=90°+90°=180°$.

Donc $E$, $O$ et $A$ sont alignés.

Montrons que les droites $(OB)$ et $(OD)$ sont perpendiculaires.

$\widehat{B O C}=45°$ ; $\widehat{C O D}=45°$.

Alors $\widehat{B O D}=\widehat{B O C}+\widehat{C O D}=45°+45°=90°$.

Donc $(OC)$ et $(OA)$ sont perpendiculaires.

b)
$OA=1cm$

Calculons $OB$ :
D'après la théorème de Pythagore dans un triangle rectangle $OB^2=OA^2+AB^2$ et puisque le triangle et isocèle alors $OA=AB$.

Donc
$OB^2=OA^2+OA^2$ $\Rightarrow$ 
$OB^2=1^2+1^2$ $\Rightarrow$
$OB^2=1+1$ $\Rightarrow$
$OB^2=2$ $\Rightarrow$
$OB=\sqrt{2}cm$.

Calculons $OC$ :
$OC^2=OB^2+BC^2$ $\Rightarrow$ 
$OC^2=OB^2+OB^2$ $\Rightarrow$ 
$OC^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2$ $\Rightarrow$
$OC^2=2+2$ $\Rightarrow$
$OC^2=4$ $\Rightarrow$
$OC=\sqrt{4}$ $\Rightarrow$
$OC=2cm$.

Calculons $OD$ :
$OD^2=OC^2+CD^2$ $\Rightarrow$ 
$OD^2=OC^2+OC^2$ $\Rightarrow$ 
$OD^2=2^2+2^2$ $\Rightarrow$
$OD^2=4+4$ $\Rightarrow$
$OD^2=8$ $\Rightarrow$
$OD=\sqrt{8}cm$.

Calculons $OE$ :
$OE^2=OD^2+DE^2$ $\Rightarrow$ 
$OE^2=OD^2+OD^2$ $\Rightarrow$ 
$OE^2=(\sqrt{8})^2+(\sqrt{8})^2$ $\Rightarrow$
$OE^2=8+8$ $\Rightarrow$
$OE^2=16$ $\Rightarrow$
$OE=\sqrt{16}$ $\Rightarrow$
$OE=4cm$.

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