Correction - Exercice 16 page 182 - Activités algébriques

1ère année secondaire

Activités algébriques

Exercice 16 page 182

Soit $φ$ le nombre d'or.

$φ=$ $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

1- Calculons $φ-1$ et $\frac{1}{φ}$ et comparons les.

* $φ-1=$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ $\Rightarrow$

$φ-1=$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$-1$ $\Rightarrow$

$φ-1=$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$-$$\frac{2}{2}$ $\Rightarrow$

$φ-1=$ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ $=0,618$.


* $\frac{1}{φ}$$=$$\frac{1}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ $\Rightarrow$

$\frac{1}{φ}$$=$$\frac{2}{1+\sqrt{5}}$ $=0,618$

Donc $φ-1=$$\frac{1}{φ}$


2- En déduisons que $φ^2=φ+1$.

On a $φ-1=$$\frac{1}{φ}$ d'où $φ(φ-1)=1$ alors $φ^2-φ=1$ donc $φ^2=φ+1$

Calculons $φ^2$.

$φ^2=φ+1$ $\Rightarrow$

$φ^2=$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$+1$ $\Rightarrow$

$φ^2=$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$+$$\frac{2}{2}$ $\Rightarrow$

$φ^2=$$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

3- a) Montrons que pour tout entier naturel $n$, $φ^{n+2}=φ^{n+1}+φ^n$.

On a $φ^2=φ+1$

On multiplie les deux membres de l'égalité par $φ^n$ :

$φ^2\times φ^n=(φ+1) φ^n$ $\Rightarrow$

$φ^{n+2}=φ\times φ^n+1\times φ^n$ $\Rightarrow$

$φ^{n+2}=φ^{n +1}+φ^{n}$


b) Calculons $φ^3$, $φ^4$ et $φ^5$.

* $φ^3=φ^{2}+φ^{1}$ $\Rightarrow$
$φ^3=$$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$+$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ $\Rightarrow$

$φ^3=$$\frac{4+2\sqrt{5}}{2}$ $\Rightarrow$

$φ^3=$$2+2\sqrt{5}$

* $φ^4=φ^{3}+φ^{2}$ $\Rightarrow$
$φ^4=$$2+2\sqrt{5}$$+$$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ $\Rightarrow$

$φ^4=$$\frac{4+2\sqrt{5}}{2}$$+$$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ $\Rightarrow$

$φ^4=$$\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$

* $φ^5=φ^{4}+φ^{3}$ $\Rightarrow$
$φ^5=$$\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$$+$$2+2\sqrt{5}$ $\Rightarrow$

$φ^5=$$\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$$+$$\frac{4+2\sqrt{5}}{2}$ $\Rightarrow$

$φ^5=$$\frac{11+5\sqrt{5}}{2}$.

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