Correction - S'auto-évaluer Vrai ou Faux page 45 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle

1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

S'auto-évaluer Vrai ou Faux page 45

Répondons par vrai ou faux :
a) $AH = 3$.
On a d'après la théorème de Pythagore dans un triangle rectangle $AB^2 = AH^2+BH^2$
D'où : $AH^2=AB^2-BH^2$
Alors : $AH^2=5^2-4^2=25-16=9$
Donc : $AH=\sqrt{9}=3$

Conclusion: La réponse est VRAI

b) $cos~\widehat{B}$$=$$\frac{4}{5}$.
On a : $cos~\widehat{B}$$=$$\frac{côté~adjacent~pour~\widehat{B}}{hypténuse}$$=$$\frac{BH}{AB}$$=$$\frac{4}{5}$ Conclusion: La réponse est VRAI


c) $sin~\widehat{B}$$=$$\frac{3}{5}$.
On a : $sin~\widehat{B}$$=$$\frac{côté~opposé~pour~\widehat{B}}{hypténuse}$$=$$\frac{AH}{AB}$$=$$\frac{3}{5}$ Conclusion: La réponse est VRAI


d) $tg~\widehat{B}$$=$$\frac{4}{3}$.
On a : $tg~\widehat{B}$$=$$\frac{côté~opposé~pour~\widehat{B}}{côté~adjacent~pour~\widehat{B}}$$=$$\frac{AH}{BH}$$=$$\frac{3}{4}$ Conclusion: La réponse est FAUX

e) $AC = 5~tg~\widehat{B}$.
Cherchons $AC$ :
On a : $cos~\widehat{B}$$=$$\frac{BH}{AB}$$=$$\frac{AB}{BC}$
Alors : $\frac{BH}{AB}$$=$$\frac{AB}{BC}$


D'où: $BC$$=$$\frac{AB^2}{BH}$$=$$\frac{5^2}{4}$$=$$\frac{25}{4}$

On peut maintenant trouver $CH$  :
$CH=BC-BH=$$\frac{25}{4}$$-4=$$\frac{25}{4}$$-$$\frac{16}{4}$$=$$\frac{9}{4}$
D'après la théorème de Pythagore on a : $AC^2=CH^2+AH^2$$=$$(\frac{9}{4})^2$$+$$3^2$$=$$\frac{81}{16}$$+$$9$$=$$\frac{81}{16}$$+$$\frac{144}{16}$$=$$\frac{225}{16}$

D'où : $AC=$$\sqrt{\frac{225}{16}}$$=$$\frac{15}{4}$


Cherchons $5~tg~\widehat{B}$ :

On a : $tg~\widehat{B}=$$\frac{3}{4}$

Alors : $5~tg~\widehat{B}=$$5\times\frac{3}{4}$$=$$\frac{15}{4}$

Donc : $AC=$$\frac{15}{4}$et $5~tg~\widehat{B}=$$\frac{15}{4}$

Et par la suite : $AC = 5~tg~\widehat{B}$

Conclusion: La réponse est VRAI 

f) $BC = AB + AC$.
D'après e) $BC =$$\frac{25}{4}$

Cherchons $AB+AC$ :
$AB+AC=5+\frac{15}{4}=\frac{20}{4}+\frac{15}{4}=\frac{35}{4}$

Donc : $BC \neq AB + AC$

Conclusion: La réponse est FAUX

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