Correction - Exercice 19 page 48 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle

1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

Exercice 19 page 48

Soit un terrain a la forme d'un trapèze $ABCD$ rectangle en $A$ et $D$.
On suppose que $AB = 20m$, $AD = 30m$ et que l'aire du terrain est égale à $540m^2$.

1- Calculons une valeur approchée du périmètre de ce terrain au $dm$ près :

Soit $S$ l'aire du terrain, avec $S=540m^2$.

On sait que l'aire d'un trapèze est égale à $\frac{(B+b)\times h}{2}$, avec :
$B$ : Grand base = $AB$.
$b$ : Petite base = $DC$.
$h$ : Hauteur = $AD$.

D'où $S=\frac{(AB+DC)\times AD}{2}=540m^2$.

* Cherchons $DC$ :
$\frac{(AB+DC)\times AD}{2}=540$ $\Rightarrow$
$(AB+DC)\times AD=540\times 2$ $\Rightarrow$
$AB.AD+DC.AD=1080$ $\Rightarrow$
$DC.AD=1080-AB.AD$ $\Rightarrow$

$DC=\frac{1080-AB.AD}{AD}$ $\Rightarrow$

$DC=\frac{1080-(20\times 30)}{30}$ $\Rightarrow$

$DC=\frac{1080-600}{30}$ $\Rightarrow$

$DC=\frac{480}{30}$ $\Rightarrow$

$DC=16m$.

* Cherchons $BC$ :
D'après Pythagore dans le triangle rectangle, on a $BC^2=BH^2+CH^2$ d'où $BC=\sqrt{BH^2+CH^2}$.

Et puisque on a $BH=AB-DC=20-16=4$ et $CH=AD=30$ alors $BC=\sqrt{BH^2+CH^2}$ $\Rightarrow$

$BC=\sqrt{4^2+30^2}$ $\Rightarrow$

$BC=\sqrt{16+900}$ $\Rightarrow$

$BC=\sqrt{916}=30,27m$.

* Calculons une valeur approchée du périmètre de ce terrain au $dm$ près :
Soit $P$ le périmètre de ce trapèze, alors $P=AB+BC+CD+DA=20+30,27+16+30=96.27m\approx 963dm$.

2- Donnons une valeur approchée de l'angle $\widehat{DCB}$ :
$\widehat{DCB}=\widehat{DCH}+\widehat{HCB}$ $\Rightarrow$ $\widehat{DCB}=90°+\widehat{HCB}$.

Dans le triangle $HBC$ on a $tan~\widehat{HCB}=\frac{BH}{CH}$ d'où $tan~\widehat{HCB}=\frac{4}{30}$ alors $tan~\widehat{HCB}=0,133$ donc et avec une calculatrice on trouve $\widehat{HCB}=7,58°$.

Et par la suite $\widehat{DCB}=90°+7,58°=97,58°$.

Conclusion : $\widehat{DCB}==97,6°$.

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