Correction - Exercice 01 page 208 - Equations et inéquations du premier degré à une inconnue

1ère année secondaire 

Equations et inéquations du premier degré à une inconnue 

Exercice 01 page 208 

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

a) $\frac{1}{5}x-\frac{1}{2} = \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$.

$\frac{1}{5}x-\frac{1}{2} = \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$ $\Rightarrow$ 
$\frac{1}{5}x-\frac{2}{3}x = \frac{1}{3}+\frac{1}{2}$ $\Rightarrow$ 
$\frac{3}{15}x-\frac{10}{15}x = \frac{2}{6}+\frac{3}{6}$ $\Rightarrow$ 
$-\frac{7}{15}x = \frac{5}{6}$ $\Rightarrow$ 
$x = \frac{\frac{5}{6}}{-\frac{7}{15}}$ $\Rightarrow$ 
$x = \frac{5}{6}\times -\frac{15}{7}$ $\Rightarrow$ 
$x = -\frac{75}{42}= -\frac{25}{14}$.

$S_\mathbb{R}=\{-\frac{25}{14}\}$.

b) $\frac{x+1}{2}-3=\frac{x-1}{3}-2$.

$\frac{x+1}{2}-3=\frac{x-1}{3}–2$ $\Rightarrow$ 
$\frac{x+1}{2}-\frac{x-1}{3}=-2+3$ $\Rightarrow$ 
$\frac{3(x+1)}{6}-\frac{2(x-1)}{6}=1$ $\Rightarrow$ 
$\frac{3x+3}{6}-\frac{2x-2}{6}=\frac{6}{6}$ $\Rightarrow$ 
$3x+3-2x+2=6$ $\Rightarrow$ 
$3x-2x=6-5$ $\Rightarrow$ 
$x = 1$.

$S_\mathbb{R}=\{1\}$.

c) $x\sqrt{3}-2x-1=0$.

$x\sqrt{3}-2x–1=0$ $\Rightarrow$ 
$x\sqrt{3}-2x=1$ $\Rightarrow$ 
$(\sqrt{3}-2)x=1$ $\Rightarrow$ 
$x=\frac{1}{\sqrt{3}-2}$.

$S_\mathbb{R}=\{\frac{1}{\sqrt{3}-2}\}$.

d) $2(x-1)=\sqrt{2}(x+1)-1$.

$2(x-1)=\sqrt{2}(x+1)-1$ $\Rightarrow$ 
$2x-2=\sqrt{2}x+\sqrt{2}-1$ $\Rightarrow$ 
$2x-\sqrt{2}x=\sqrt{2}-1+2$ $\Rightarrow$ 
$(2-\sqrt{2})x=\sqrt{2}+1$ $\Rightarrow$
$x=\frac{\sqrt{2}+1}{2-\sqrt{2}}$ $\Rightarrow$

$S_\mathbb{R}=\{\frac{\sqrt{2}+1}{2-\sqrt{2}}\}$.

e) $\sqrt{3}-5(x–\sqrt{3})=\frac{1-x}{2}$.

$\sqrt{3}-5(x–\sqrt{3})=\frac{1-x}{2}$ $\Rightarrow$ 
$\sqrt{3}-5x+5\sqrt{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x$ $\Rightarrow$ 
$-5x+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}-6\sqrt{3}$ $\Rightarrow$ 
$-\frac{10}{2}x+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}-\frac{2(6\sqrt{3})}{2}$ $\Rightarrow$ 
$-\frac{9}{2}x=\frac{1-12\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow$ 
$-9x=1-12\sqrt{3}$ $\Rightarrow$ 
$x=-\frac{1-12\sqrt{3}}{9}$ $\Rightarrow$ 
$x=\frac{-1+12\sqrt{3}}{9}$ $\Rightarrow$ 
$x=\frac{12\sqrt{3}-1}{9}$.

$S_\mathbb{R}=\{\frac{12\sqrt{3}-1}{9}\}$.

f) $\frac{x-1}{4}+\frac{2x+3}{2}=\frac{2x+1}{3}-\frac{3x+12}{6}$.

$\frac{x-1}{4}+\frac{2x+3}{2}=\frac{2x+1}{3}-\frac{3x+12}{6}$ $\Rightarrow$ 
$\frac{3(x-1)}{12}+\frac{6(2x+3)}{12}=\frac{4(2x+1)}{12}-\frac{2(3x+12)}{12}$ $\Rightarrow$ 
$3x-3+12x+18=8x+4-6x-24$ $\Rightarrow$ 
$3x+12x-8x+6x=4-24+3-18$ $\Rightarrow$ 
$13x=-35$ $\Rightarrow$ 
$x=-\frac{35}{13}$.

$S_\mathbb{R}=\{-\frac{35}{13}\}$.

g) $(3x-4)(x+1)=3x^2+4$.

$(3x-4)(x+1)=3x^2+4$ $\Rightarrow$ 
$3x^2+3x-4x-4=3x^2+4$ $\Rightarrow$ 
\(3x^2-3x^2+3x-4x=4+4\) $\Rightarrow$ 
$-x=8$ $\Rightarrow$  
$x=-8$.

$S_\mathbb{R}=\{-8\}$.

h) $|x|=-2$.

$S_\mathbb{R}=\{\}=\varnothing$.

Car $-2$ est négatif et la valeur absolue d'un nombre réel est toujours positif.

i) $|2x-5|=7$.

$|2x-5|=7$ $\Rightarrow$ 
$2x-5=7$ ou $2x-5=-7$ donc $2x=12$ ou $2x=-2$ d'où $x=6$ ou $x=-1$.

$S_\mathbb{R}=\{-1;6\}$.

j) $|3-x|=\pi-4$.
$S_\mathbb{R}=\{\}=\varnothing$.

Car $\pi-4$ est négatif et la valeur absolue d'un nombre réel est toujours positif.

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