Correction - Exercice 22 page 210 - Equations et inéquations du premier degré à une inconnue

1ère année secondaire 

Equations et inéquations du premier degré à une inconnue 

Exercice 22 page 210 

Soit \(ABC\) un triangle \(ABC\) rectangle et isocèle en \(A\) tel que \(AB = 10cm\).

Soit \(M\) un point du segment \([AB]\), on pose \(AM = x\) (en \(cm\)).

Soit \(P\) le point de la droite parallèle à \((AC)\) qui passe par \(M\) et coupe \([BC]\). et le point \(Q\) de la droite parallèle à \((AB)\) qui passe par \(P\) et coupe \([AC]\).

1- La figure.

2- Exprimons l'aire du quadrilatère \(AMPQ\) en fonction de \(x\) :
D'après le théorème de Thalès \(\frac{BM}{BA}=\frac{10-x}{10}=\frac{MP}{10}\) alors \(MP=10-x\). D'où l'aire du quadrilatère \(AMPQ\) est \(A=x\times(10-x)\).

Soit \(D\) le symétrique de \(C\) par rapport à la droite \((PQ)\).

3- Déterminons \(x\) pour que l'aire du triangle \(PCD\) soit strictement inférieure au quart de l'aire du trapèze \(ABPQ\) :
L'aire de \(ABPQ\) est : 
\(A_1=\frac{(AB+PQ)AQ}{2}=\frac{(10+x)(10-x)}{2}=\frac{100-x^2}{2}\). 

Et l'aire du triangle \(PCD\) est : 
\(A_2=\frac{CD\times PQ}{2}=\frac{2x\times x}{2}=x^2\).

Pour que l'air du triangle \(PCD\) soit strictement inférieur au quart de l'aire du trapèze \(ABPQ\), il faut que :
\(A_2<\frac{1}{4}A_1\) alors \(x^2<\frac{1}{4}\frac{100-x^2}{2}\) d'où \(x^2<\frac{100-x^2}{8}\) donc \(x^2+\frac{x^2}{8}<\frac{25}{2}\).

Donc \(\frac{9x^2}{8}<\frac{25}{2}\) alors \(\frac{9x^2}{4}<25\) d'où \((\frac{3x^2}{2})^2-5^2<0\) et par la suite \((\frac{3x}{2}+5)(\frac{3x}{2}-5)<0\).

Conclusion : l'aire du triangle \(PCD\) soit strictement au quart de l'aire du trapèze \(ABPQ\), il faut que : \(x\in]\frac{-10}{3},\frac{10}{3}[\).

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