Correction - Exercice corrigé n°05 - Activités numériques I

1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice corrigé n°05

05 - 

a) \(a\) \(=\) \(45\) et \(b\) \(=\) \(75\)
* Calculons \(a\)\(\times\)\(b\)

\(a\)\(\times\)\(b\) \(=\) \(45\) \(\times\) \(75\)

\(a\)\(\times\)\(b\) \(=\) \(3375\)

* Calculons le PGCD(\(a\),\(b\))

PGCD(\(a\),\(b\)) \(=\) PGCD(\(45\),\(75\))

On décompose en facteur premier :

\(45\)\(|\)\(3\)

\(15\)\(|\)\(3\)

\(0\)\(5\)\(|\)\(5\)

\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(45\) \(=\) \(3\times3\times5\)

D’où \(45\) \(=\) \(3^2\)\(\times5\)

\(75\)\(|\)\(3\)

\(25\)\(|\)\(5\)

\(0\)\(5\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(75\) \(=\) \(3\times5\times5\)

D’où \(75\) \(=\) \(3\)\(\times5^2\)

Donc : 

\(45\) \(=\) \(3^2\)\(\times5\)

\(75\)\(=\) \(3\) \(\times5^2\)

Conclusion : le PGCD(\(45\), \(75\)) \(=\) \(3\)\(\times5\) \(=\) \(15\)

* Calculons le PPCM(\(a\),\(b\))

PPCM(\(a\),\(b\)) \(=\) PPCM(\(45\),\(75\))

On décompose en facteur premier :

On a déjà le résultat :

\(45\) \(=\) \(3^2\)\(\times5\)

\(75\) \(=\) \(3\)\(\times5^2\)

Conclusion : le PPCM(\(45\), \(75\)) \(=\) \(3^2\)\(\times5^2\) \(=\) \(9\)\(\times25\) \(=\) \(225\)

* Calculons le PGCD(\(a\),\(b\)) \(\times\) PPCM(\(a\),\(b\))

PGCD(\(a\),\(b\)) \(\times\) PPCM(\(a\),\(b\))\(=\) PGCD(\(45\),\(75\)) \(\times\) PPCM(\(45\),\(75\)) \(=\) \(15\) \(\times\) \(225\) \(=\) \(3375\)

b) \(a\) \(=\) \(56\) et \(b\) \(=\) \(70\)
* Calculons \(a\)\(\times\)\(b\)

\(a\)\(\times\)\(b\) \(=\) \(56\) \(\times\) \(70\)

\(a\)\(\times\)\(b\) \(=\) \(3920\)

* Calculons le PGCD(\(a\),\(b\))

PGCD(\(a\),\(b\)) \(=\) PGCD(\(56\),\(70\))

On décompose en facteur premier :

\(56\)\(|\)\(2\)

\(28\)\(|\)\(2\)
\(14\)\(|\)\(2\)

\(0\)\(7\)\(|\)\(7\)

\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(56\) \(=\) \(2\times2\times2\times7\)

D’où \(56\) \(=\) \(2^3\)\(\times7\)

\(70\)\(|\)\(2\)

\(35\)\(|\)\(5\)

\(0\)\(7\)\(|\)\(7\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(75\) \(=\) \(2\times5\times7\)

Donc : 

\(56\) \(=\) \(2^3\)\(\times7\)

\(75\) \(=\) \(2\times5\times7\)

Conclusion : le PGCD(\(56\), \(70\)) \(=\) \(2\times7\) \(=\) \(14\)

* Calculons le PPCM(\(a\),\(b\))

PPCM(\(a\),\(b\)) \(=\) PPCM(\(56\),\(70\))

On décompose en facteur premier :

On a déjà le résultat :

\(56\) \(=\) \(2^3\)\(\times7\)

\(75\) \(=\) \(2\times5\times7\)

Conclusion : le PPCM(\(56\), \(70\)) \(=\) \(2^3\)\(\times5\times7\) \(=\) \(8\)\(\times35\) \(=\) \(280\)

* Calculons le PGCD(\(a\),\(b\)) \(\times\) PPCM(\(a\),\(b\))

PGCD(\(a\),\(b\)) \(\times\) PPCM(\(a\),\(b\))\(=\) PGCD(\(56\),\(70\)) \(\times\) PPCM(\(56\),\(70\)) \(=\) \(14\) \(\times\) \(280\) \(=\) \(3920\)

c) Pour tout \(a\)\(\in\)\(\mathbb{N}^{*}\) et \(b\)\(\in\)\(\mathbb{N}^{*}\) :

* PGCD(\(a\),\(b\)) \(\times\) PPCM(\(a\),\(b\)) \(=\) \(a\) \(\times\) \(b\), en déduire le résultat a partir des résultats de a) et b)

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