Correction - Exercice 15 page 35 - Théorème de Thalès et sa réciproque

1ère année secondaire

Théorème de Thalès et sa réciproque

Exercice 15 page 35

Soit \((D)\) et \((D')\) deux droites perpendiculaires en \(O\).

Plaçons le point \(B\) sur \((D)\) et le point \(C\) sur \((D')\) tels que \(BC = 5cm\).

1- La construction est possible que lorsque \(OB\leqslant5\)

2- Soit \(I\) le milieu de \([BC]\).

a) Calculons \(OI\) et en déduisons sur quelle ligne fixe se déplace \(I\) lorsque le point \(B\) varie sur \((D)\).

On a OBC un triangle rectangle en O, alors le milieu I de son hypoténuse BC est le centre du cercle circonscrit.

D'où \(OI=CI=BI=\)\(\frac{BC}{2}\)\(=\)\(\frac{5}{2}\)\(cm\).

Et par la suite lorsque le point \(B\) varie sur \((D)\), \(I\) se déplace sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(\frac{5}{2}\)\(cm\).

b) Soit \(G\) le point d'intersection de la droite parallèle à \((D')\) passant par \(B\) avec \((OI)\).

Calculons \(OG\) et en déduisons sur quelle ligne fixe se déplace le point \(G\) lorsque \(B\) varie sur \((D)\).

On a :
\(IC=IB\) (\(I\) milieu de \(BC\))
\(\widehat{C I O}=\widehat{G I B}\) (Deux angles opposés par le sommet)
\(\widehat{O C I}=\widehat{G B I}\) (Deux angles alternes internes)

D'où les deux triangles \(ICO\) et \(IBG\) sont isométriques

Ce qui signifie que \(IG=IO=BI=\)\(\frac{5}{2}\)\(cm\).

Et par la suite \(OG=5cm\).

Donc lorsque le point \(B\) varie sur \((D)\), \(G\) se déplace sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(5cm\).

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Cours - Théorème de Thalès et sa réciproque

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