Correction - Exercice 15 page 35 - Théorème de Thalès et sa réciproque

1ère année secondaire

Théorème de Thalès et sa réciproque

Exercice 15 page 35

Soit $(D)$ et $(D')$ deux droites perpendiculaires en $O$.

Plaçons le point $B$ sur $(D)$ et le point $C$ sur $(D')$ tels que $BC = 5cm$.

1- La construction est possible que lorsque $OB\leqslant5$

2- Soit $I$ le milieu de $[BC]$.

a) Calculons $OI$ et en déduisons sur quelle ligne fixe se déplace $I$ lorsque le point $B$ varie sur $(D)$.

On a OBC un triangle rectangle en O, alors le milieu I de son hypoténuse BC est le centre du cercle circonscrit.

D'où $OI=CI=BI=$$\frac{BC}{2}$$=$$\frac{5}{2}$$cm$.

Et par la suite lorsque le point $B$ varie sur $(D)$, $I$ se déplace sur le cercle de centre $O$ et de rayon $\frac{5}{2}$$cm$.

b) Soit $G$ le point d'intersection de la droite parallèle à $(D')$ passant par $B$ avec $(OI)$.

Calculons $OG$ et en déduisons sur quelle ligne fixe se déplace le point $G$ lorsque $B$ varie sur $(D)$.

On a :
$IC=IB$ ($I$ milieu de $BC$)
$\widehat{C I O}=\widehat{G I B}$ (Deux angles opposés par le sommet)
$\widehat{O C I}=\widehat{G B I}$ (Deux angles alternes internes)

D'où les deux triangles $ICO$ et $IBG$ sont isométriques

Ce qui signifie que $IG=IO=BI=$$\frac{5}{2}$$cm$.

Et par la suite $OG=5cm$.

Donc lorsque le point $B$ varie sur $(D)$, $G$ se déplace sur le cercle de centre $O$ et de rayon $5cm$.

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Cours - Théorème de Thalès et sa réciproque

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