Correction - Exercice 12 page 47 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle

1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

Exercice 12 page 47

Soit un triangle $STO$ tel que $ST = 3cm$, $SO = \sqrt{3}$ et $OT = 2\sqrt{3}$.

1- a) Montrons que $STO$ est rectangle en $S$.

on a :

$ST = 3$ d'où $ST^2 = 3^2=9$.

$SO = \sqrt{3}$ d'où $SO^2 = \sqrt{3}^2=3$.

$OT = 2\sqrt{3}$ d'où $OT^2 = (2\sqrt{3})^2=4\times3=12$.

On constante que : $OT^2 = SO^2+ST^2$.

Et d'après Pythagore si un triangle $STO$ est rectangle en $S$ alors $OT^2 = SO^2+ST^2$.

b) Calculons $tan~\widehat{SOT}$ puis déduire l'angle $\widehat{SOT}$.

$tan~\widehat{SOT}=\frac{ST}{OS}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ alors l'angle $\widehat{SOT}=60°$.

2- Soit $H$ le projeté orthogonal de $S$ sur $(OT)$.

Montrons que $SH = \frac{3}{2}$.
On a :
La surface $S$ du triangle $STO$ est égale à $S=\frac{OS\times ST}{2}$ et égale aussi à $S=\frac{SH\times OT}{2}$.

Donc : $S=\frac{OS\times ST}{2}=\frac{SH\times OT}{2}$.

Et par la suite : $OS\times ST=SH\times OT$.

Or : $SH=\frac{OS\times ST}{OT}=\frac{\sqrt{3}\times 3}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{2}$.

3- Traçons la perpendiculaire à $(OT)$ passant par $T$ coupe $(OS)$ en $D$.

Calculons les angles du triangle $DST$ 
On sait que l'ensemble des angles d'un triangle est égale à 180°, cela signifie que dans le triangle $TOD$,
$\widehat{TOD}+\widehat{OTD}+\widehat{ODT}=180°$  $\Rightarrow$

$\widehat{ODT}=180°-(\widehat{TOD}+\widehat{OTD})$  $\Rightarrow$

$\widehat{ODT}=180°-(60°+90°)$  $\Rightarrow$

$\widehat{ODT}=180°-(150°)$  $\Rightarrow$

$\widehat{ODT}=30°$.

* Pour le triangle $DST$ on a :

$\widehat{TSD}=90°$ et $\widehat{SDT}=.30°$ puisque $\widehat{SDT}=\widehat{ODT}$


Cherchons $\widehat{STD}$
On sait que :

$\widehat{TSD}+\widehat{STD}+\widehat{SDT}=180°$  $\Rightarrow$

$\widehat{STD}=180°-(\widehat{SDT}+\widehat{TSD})$  $\Rightarrow$

$\widehat{STD}=180°-(30°+90°)$  $\Rightarrow$

$\widehat{STD}=180°-(120°)$  $\Rightarrow$

$\widehat{STD}=60°$.


Calculons $TD$ :

On a $sin~\widehat{SDT}=sin~30°=\frac{ST}{DT}$ d'où $DT=\frac{ST}{sin~30°}=\frac{3}{0,5}=6cm$.

Calculons $DS$.

On a d'après Pythagore $DT^2=DS^2+ST^2$ d'où $DS^2=DT^2-ST^2=6^2-3^2=36-9=27$ donc $DS=\sqrt{27}=3\sqrt{3}cm$.

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