Correction - Exercice 12 page 47 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle

1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

Exercice 12 page 47

Soit un triangle \(STO\) tel que \(ST = 3cm\), \(SO = \sqrt{3}\) et \(OT = 2\sqrt{3}\).

1- a) Montrons que \(STO\) est rectangle en \(S\).

on a :

\(ST = 3\) d'où \(ST^2 = 3^2=9\).

\(SO = \sqrt{3}\) d'où \(SO^2 = \sqrt{3}^2=3\).

\(OT = 2\sqrt{3}\) d'où \(OT^2 = (2\sqrt{3})^2=4\times3=12\).

On constante que : \(OT^2 = SO^2+ST^2\).

Et d'après Pythagore si un triangle \(STO\) est rectangle en \(S\) alors \(OT^2 = SO^2+ST^2\).

b) Calculons \(tan~\widehat{SOT}\) puis déduire l'angle \(\widehat{SOT}\).

\(tan~\widehat{SOT}=\frac{ST}{OS}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\) alors l'angle \(\widehat{SOT}=60°\).

2- Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(S\) sur \((OT)\).

Montrons que \(SH = \frac{3}{2}\).
On a :
La surface \(S\) du triangle \(STO\) est égale à \(S=\frac{OS\times ST}{2}\) et égale aussi à \(S=\frac{SH\times OT}{2}\).

Donc : \(S=\frac{OS\times ST}{2}=\frac{SH\times OT}{2}\).

Et par la suite : \(OS\times ST=SH\times OT\).

Or : \(SH=\frac{OS\times ST}{OT}=\frac{\sqrt{3}\times 3}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{2}\).

3- Traçons la perpendiculaire à \((OT)\) passant par \(T\) coupe \((OS)\) en \(D\).

Calculons les angles du triangle \(DST\) 
On sait que l'ensemble des angles d'un triangle est égale à 180°, cela signifie que dans le triangle \(TOD\),
\(\widehat{TOD}+\widehat{OTD}+\widehat{ODT}=180°\)  \(\Rightarrow \)

\(\widehat{ODT}=180°-(\widehat{TOD}+\widehat{OTD})\)  \(\Rightarrow \)

\(\widehat{ODT}=180°-(60°+90°)\)  \(\Rightarrow \)

\(\widehat{ODT}=180°-(150°)\)  \(\Rightarrow \)

\(\widehat{ODT}=30°\).

* Pour le triangle \(DST\) on a :

\(\widehat{TSD}=90°\) et \(\widehat{SDT}=.30°\) puisque \(\widehat{SDT}=\widehat{ODT}\)


Cherchons \(\widehat{STD}\)
On sait que :

\(\widehat{TSD}+\widehat{STD}+\widehat{SDT}=180°\)  \(\Rightarrow \)

\(\widehat{STD}=180°-(\widehat{SDT}+\widehat{TSD})\)  \(\Rightarrow \)

\(\widehat{STD}=180°-(30°+90°)\)  \(\Rightarrow \)

\(\widehat{STD}=180°-(120°)\)  \(\Rightarrow \)

\(\widehat{STD}=60°\).


Calculons \(TD\) :

On a \(sin~\widehat{SDT}=sin~30°=\frac{ST}{DT}\) d'où \(DT=\frac{ST}{sin~30°}=\frac{3}{0,5}=6cm\).

Calculons \(DS\).

On a d'après Pythagore \(DT^2=DS^2+ST^2\) d'où \(DS^2=DT^2-ST^2=6^2-3^2=36-9=27\) donc \(DS=\sqrt{27}=3\sqrt{3}cm\).

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