Correction - Exercice 17 page 48 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle

1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

Exercice 17 page 48

La figure qui suit représente un pentagone régulier \(ABCDE\) inscrit dans un cercle \((C)\) de centre \(I\) et de rayon \(3cm\).

1- Reproduisons ce dessin :

2- Trouvons une valeur approchée à \(0,1\) près de \([AB]\) :

La somme des angles au centre d'un pentagone régulier est égale à \(360°\), et puisque ces angles au centre sont égaux, alors chaque angle mesure \(\frac{360°}{5}=72°\).

Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(I\) sur \(AB\) :

Alors l'angle \(\widehat{AIH}=\frac{\widehat{AIB}}{2}=\frac{72°}{2}=36°\). 

On a \(sin~\widehat{AIH}=sin~\widehat{36°}=\frac{AH}{AI}\). 

Et puisque \(AI=R\) dont \(R\) est le rayon du cercle, et \(AH=\frac{AB}{2}\). 

Alors \(sin~\widehat{36°}=\frac{\frac{AB}{2}}{R}=\frac{AB}{2R}\). 

D'où \(AB = 2R\times sin~\widehat{36°}=2\times3\times0,588=3,5cm\).

3- Trouvons une valeur approchée à \(0,1\) près de l'aire de la partie colorée :

Soit \(S_c\) l'aire de la partie colorée.

Soit \(S_d\) l'aire du disque.

Soit \(S_p\) l'aire du pentagone.

\(S_c=S_d-S_p\)

Calculons \(IH\) :
Dans le triangle rectangle \(HIA\), on a \(AI^2=HA^2+IH^2\) alors \(IH^2=AI^2-HA^2=3^2-{\frac{AB}{2}}^2=9-{\frac{3,5}{2}}^2=9-1,75^2=9-3,06=5,94\) d'où \(IH=\sqrt{5,94}=2,4cm\).

Calculons l'aire du triangle \(HIA\) :

L'aire du triangle \(HIA\) égale \(\frac{AH \times IH}{2}=\frac{1,75 \times 2,4}{2}=2,1cm^2\)

Calculons \(S_p\) :
\(S_p=10 \times 2,1=21cm^2\).

Calculons \(S_d\) :
\(S_d=R^2\times \pi=3^2\times 3,14=28,26cm^2\).

Calculons \(S_c\) :
\(S_c=S_d-S_p=28,26-21=7,26cm^2\).

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