Correction - Exercice 18 page 48 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle

1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

Exercice 18 page 48

Soit $ABC$ un triangle tel que $I$ est le milieu de $[BC]$, $AB=5$, $BC=6,5$ et $BAI=30°$.

a) Montrons que l'aire du triangle $ABC$ est le double de l'aire du triangle $ABI$ :

Soit $S_1$ l'aire du triangle $ABI$ et $S_2$ l'aire du triangle $ABC$.

Soit $AH$ l'auteur du triangle $ABI$ passant par $A$ sur $(BI)$.

On sait que $S_1=\frac{AH\times BI}{2}$


Et puisque $BI=\frac{BC}{2}$.

Alors $S_1=\frac{AH\times \frac{BC}{2}}{2}$.

D'où $S_1=\frac{\frac{AH \times BC}{2}}{2}$.

Et puisque $S_2=\frac{AH\times BC}{2}$.

Alors $S_1=\frac{S_2}{2}$.

Donc $S_2=S_1\times 2$.


b) Calculons l'aire de $ABC$ :

Soit $H'$ la hauteur du triangle $ABI$ passant par $B$.

On a $sin~30°=\frac{BH'}{AB}$.

D'où $BH'=AB\times sin~30°=5 \times \frac{1}{2}=2,5cm$.

Cherchons $AH'$ :
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $H'BA$, $AB^2=AH'^2+BH'^2$, alors $AH'^2=AB'^2-BH'^2$ d'où $AH'=\sqrt{AB'^2-BH'^2}=\sqrt{5^2-{2,5}^2}=\sqrt{18,75}=4,33cm$.

Cherchons $IH'$ :
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $H'BI$, $BI^2=BH'^2+IH'^2$, alors $IH'^2=BI^2-BH'^2$ d'où $IH'=\sqrt{BI'^2-BH'^2}=\sqrt{{3,25}^2-{2,5}^2}=\sqrt{4,31}=2,08cm$.

Cherchons $AI$ :
On a $AI=AH'+H'I=4,33+2,08=6,41cm$.

Calculons l'aire de $ABI$ :
$S_1=\frac{BH'\times AI}{2}=\frac{2,5\times 6,41}{2}=8,01cm^2$.

Calculons l'aire de $ABC$ :
On a $S_2= 2\times S_1=2\times 8,01=16,02cm^2$.

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