Correction - Exercice 16 page 48 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle

1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

Exercice 16 page 48

Soit $ABC$ un triangle, avec $BC = a$, $AB = c$, $AC = b$, $R$ le rayon de son cercle circonscrit et $S$ la mesure de l'aire de $ABC$.

On se propose d'établir la relation $4RS = abc$.

a) Traçons la hauteur $[BH]$ :

Exprimons $BH$ en fonction de $c$ et $sin~\widehat{BA}$ :
Dans le triangle $ABC$ on a $sin~\widehat{A} = \frac{BH}{AB}=\frac{BH}{c}$ donc $BH = c~sin~\widehat{A}$.

Exprimons $S$ en fonction de $b$, $c$ et $sin~\widehat{A}$ :
$S$ est l'aire du triangle $ABC$, c'est à dire $S=\frac{AC \times BH}{2}=\frac{b \times BH}{2}=\frac{b \times c~sin~\widehat{A}}{2}$ puisque $BH = c~sin~\widehat{A}$.

Déduisons une expression de $sin~\widehat{A}$ :
D'après la solution prétendante trouvé on a :
$S=\frac{b \times c~sin~\widehat{A}}{2}$

D'où $sin~\widehat{A}=\frac{2S}{bc}$

b) Marquons $I$ milieu de $[BC]$ :

Montrons que $\widehat{BOI}=\widehat{A}$ :

Exprimons $sin~\widehat{A}$ en fonction de $a$ et $R$ :

$OBC$ est un triangle isocèle alors $OI$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{BOC}$ d'où $\widehat{BOI}=\frac{\widehat{BOC}}{2}$ et par la suite $\widehat{BOI}=\widehat{A}$ et on en déduit que $sin~\widehat{A}=sin~\widehat{BOI}=\frac{BI}{R}=\frac{\frac{a}{2}}{R}=\frac{a}{2R}$.

Conclusion : $sin~\widehat{A}=\frac{a}{2R}$

c) Déduisons de ce qui précède la relation $4RS = abc$ :

On a trouvé que $sin~\widehat{A}=\frac{2S}{bc}$ et $sin~\widehat{A}=\frac{a}{2R}$ d'où $\frac{2S}{bc}=\frac{a}{2R}$ donc $2S \times 2R=abc$

Conclusion : $4RS=abc$

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