Correction - Exercice 15 page 48 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle

1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

Exercice 15 page 48

Soit \(ABC\) un triangle tel que les angles \(\widehat{A}\), \(\widehat{B}\) et \(\widehat{C}\) sont aigus.
On pose \(BC = a\), \(AB = c\) et \(AC = b\) :

Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur \((AC)\).

On se propose d'établir la relation \(b^2+c^2–2bc~cos~\widehat{A} = a^2\). :

1- Exprimons \(AH\) à l'aide de \(cos~\widehat{A}\) :

On a : \(cos~\widehat{A} = \frac{AH}{c}\) donc \(AH = c ~cos~\widehat{A}\).

2- Exprimons \(BH\) à l'aide de \(a\), \(b\) et \(AH\) :

Dans le triangle rectangle \(HBC\), et d'après Pythagore on a :
\(a^2 = BH^2+CH^2\)

Et puisque \(CH=b-AH^2\)

Alors \(a^2 = BH^2+(b-AH)^2\)

D'où \(BH = \sqrt{a^2-(b-AH)^2}\)

3- Déduisons que \(b^2+c^2–2bc~cos~\widehat{A} = a^2\).

Dans le triangle rectangle \(HAB\), et d'après Pythagore on a :
\(c^2 = BH^2+AH^2\)

D'où  \(BH = \sqrt{c^2-AH^2}\)

Et d'après la deuxième question on a trouvé que :
\(a^2 = BH^2+(b-AH)^2\) et on remplaçons \(BH\) par \( \sqrt{c^2-AH^2}\)

On trouve \(a^2 = (\sqrt{c^2-AH^2})^2+(b-AH)^2\)

Et par la suite \(a^2 = c^2-AH^2+(b^2-2.b.AH+AH^2)\)

D'où \(a^2 = b^2+c^2-2bAH)\)

D'après la première question on a trouvé que \(AH = c~cos~\widehat{A}\) et on remplaçons \(AH\) par \(c~cos~\widehat{A}\)

On trouve \(a^2 = b^2+c^2-2bc~cos~\widehat{A}\)

Retour vers: Exercice 15 page 48

Cours - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle - 1ère année secondaire

Retour vers: Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle - Corrigées des exercices du manuel scolaire - 1ère année secondaire