Correction - Exercice 15 page 48 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle

1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

Exercice 15 page 48

Soit $ABC$ un triangle tel que les angles $\widehat{A}$, $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ sont aigus.
On pose $BC = a$, $AB = c$ et $AC = b$ :

Soit $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$.

On se propose d'établir la relation $b^2+c^2–2bc~cos~\widehat{A} = a^2$. :

1- Exprimons $AH$ à l'aide de $cos~\widehat{A}$ :

On a : $cos~\widehat{A} = \frac{AH}{c}$ donc $AH = c ~cos~\widehat{A}$.

2- Exprimons $BH$ à l'aide de $a$, $b$ et $AH$ :

Dans le triangle rectangle $HBC$, et d'après Pythagore on a :
$a^2 = BH^2+CH^2$

Et puisque $CH=b-AH^2$

Alors $a^2 = BH^2+(b-AH)^2$

D'où $BH = \sqrt{a^2-(b-AH)^2}$

3- Déduisons que $b^2+c^2–2bc~cos~\widehat{A} = a^2$.

Dans le triangle rectangle $HAB$, et d'après Pythagore on a :
$c^2 = BH^2+AH^2$

D'où  $BH = \sqrt{c^2-AH^2}$

Et d'après la deuxième question on a trouvé que :
$a^2 = BH^2+(b-AH)^2$ et on remplaçons $BH$ par $\sqrt{c^2-AH^2}$

On trouve $a^2 = (\sqrt{c^2-AH^2})^2+(b-AH)^2$

Et par la suite $a^2 = c^2-AH^2+(b^2-2.b.AH+AH^2)$

D'où $a^2 = b^2+c^2-2bAH)$

D'après la première question on a trouvé que $AH = c~cos~\widehat{A}$ et on remplaçons $AH$ par $c~cos~\widehat{A}$

On trouve $a^2 = b^2+c^2-2bc~cos~\widehat{A}$

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