Correction - Exercice 03 page 208 - Equations et inéquations du premier degré à une inconnue

1ère année secondaire 

Equations et inéquations du premier degré à une inconnue 

Exercice 03 page 208 

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

a) $x^3=64$ :
$x^3=64$ $\Rightarrow$
$x^3-64=0$ $\Rightarrow$

$x^3-4^3=0$ c'est une identité remarquable $a^3-b^3=(a-b)(a^2 + ab + b^2)$ d'où :

$(x-4)(x^2+4x+4^2)=0$ $\Rightarrow$
$x-4=0$ ou $x^2+4x+16=0$ $\Rightarrow$
$x=4$ ou $(x^2+4x+4)+12=0$ $\Rightarrow$
$x=4$ ou $(x^2+2.x.2+2^2)+12=0$ $\Rightarrow$
$x=4$ ou $(x+2)^2+12=0$ car $(x+2)^2=x^2+2.x.2+2^2$ $\Rightarrow$

$x=4$ ou $(x+2)^2=-12$ ce qui est impossible car le carrée d'un réel est toujours positif.

Donc :

$S_\mathbb{R}=\{4\}$.

b) $x^3+8=0$ :

$x^3+8=0$ $\Rightarrow$
$x^3+2^3=0$ c'est une identité remarquable $a^3+b^3=(a+b)(a^2 - ab + b^2)$ d'où :
$(x+2)(x^2-2x+2^2)=0$ $\Rightarrow$
$x+2=0$ ou $x^2-2x+4=0$ $\Rightarrow$
$x=-2$ ou $(x^2-2x+1)+3=0$ $\Rightarrow$
$x=-2$ ou $(x^2-2.x.1+1^2)+3=0$ $\Rightarrow$
$x=-2$ ou $(x-1)^2+3=0$ car $(x-1)^2=x^2+2.x.1+1^2$ $\Rightarrow$

$x=-2$ ou $(x-1)^2=-3$ ce qui est impossible car le carrée d'un réel est toujours positif.

Donc :

$S_\mathbb{R}=\{-2\}$.

c) $(3-x)(3-x)^2-1=26$ :

$(3-x)(3-x)^2-1=26$ $\Rightarrow$
$(3-x)^3-1-26=0$ $\Rightarrow$
$(3-x)^3-27=0$ $\Rightarrow$
$(3-x)^3-3^3=0$ c'est une identité remarquable $a^3-b^3=(a-b)(a^2 +ab + b^2)$ d'où :
$(3-x-3)((3-x)^2+3(3-x)+3^2)=0$$\Rightarrow$
$(-x)((3-x)^2+9-3x+9)=0$$\Rightarrow$
$(-x)((3-x)^2-3x+18)=0$$\Rightarrow$
$-x=0$ ou $(3-x)^2+9-3x+9=0$ ce qui est impossible.

Donc :

$S_\mathbb{R}=\{0\}$.

d) $8x^3+4x^2=2x+1$ :

$8x^3+4x^2=2x+1$ $\Rightarrow$
$8x^3+4x^2-(2x+1)=0$ $\Rightarrow$
$4x^2(2x+1)-(2x+1)=0$ $\Rightarrow$
${\color{Red}{(4x^2-1)}}(2x+1)=0$ $\Rightarrow$
${\color{Red}{(2^2x^2-1^2)}}(2x+1)=0$ $\Rightarrow$
${\color{Red}{((2x)^2-1^2)}}(2x+1)=0$ $\Rightarrow$
${\color{Red}{(2x-1)(2x+1)}}(2x+1)=0$ $\Rightarrow$

$(2x-1)(2x+1)^2=0$ $\Rightarrow$
$2x-1=0$ ou $(2x+1)^2=0$ $\Rightarrow$
$2x-1=0$ ou $2x+1=0$ $\Rightarrow$
$2x=1$ ou $2x=-1$ $\Rightarrow$
$x=\frac{1}{2}$ ou $x=-\frac{1}{2}$.

Donc :

$S_\mathbb{R}=\{\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\}$.

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