Correction - Exercice 03 page 208 - Equations et inéquations du premier degré à une inconnue

1ère année secondaire 

Equations et inéquations du premier degré à une inconnue 

Exercice 03 page 208 

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

a) \(x^3=64\) :
\(x^3=64\) \(\Rightarrow\)
\(x^3-64=0\) \(\Rightarrow\)

\(x^3-4^3=0\) c'est une identité remarquable \(a^3-b^3=(a-b)(a^2 + ab + b^2)\) d'où :

\((x-4)(x^2+4x+4^2)=0\) \(\Rightarrow\)
\(x-4=0\) ou \(x^2+4x+16=0\) \(\Rightarrow\)
\(x=4\) ou \((x^2+4x+4)+12=0\) \(\Rightarrow\)
\(x=4\) ou \((x^2+2.x.2+2^2)+12=0\) \(\Rightarrow\)
\(x=4\) ou \((x+2)^2+12=0\) car \((x+2)^2=x^2+2.x.2+2^2\) \(\Rightarrow\)

\(x=4\) ou \((x+2)^2=-12\) ce qui est impossible car le carrée d'un réel est toujours positif.

Donc :

\(S_\mathbb{R}=\{4\}\).

b) \(x^3+8=0\) :

\(x^3+8=0\) \(\Rightarrow\)
\(x^3+2^3=0\) c'est une identité remarquable \(a^3+b^3=(a+b)(a^2 - ab + b^2)\) d'où :
\((x+2)(x^2-2x+2^2)=0\) \(\Rightarrow\)
\(x+2=0\) ou \(x^2-2x+4=0\) \(\Rightarrow\)
\(x=-2\) ou \((x^2-2x+1)+3=0\) \(\Rightarrow\)
\(x=-2\) ou \((x^2-2.x.1+1^2)+3=0\) \(\Rightarrow\)
\(x=-2\) ou \((x-1)^2+3=0\) car \((x-1)^2=x^2+2.x.1+1^2\) \(\Rightarrow\)

\(x=-2\) ou \((x-1)^2=-3\) ce qui est impossible car le carrée d'un réel est toujours positif.

Donc :

\(S_\mathbb{R}=\{-2\}\).

c) \((3-x)(3-x)^2-1=26\) :

\((3-x)(3-x)^2-1=26\) \(\Rightarrow\)
\((3-x)^3-1-26=0\) \(\Rightarrow\)
\((3-x)^3-27=0\) \(\Rightarrow\)
\((3-x)^3-3^3=0\) c'est une identité remarquable \(a^3-b^3=(a-b)(a^2 +ab + b^2)\) d'où :
\((3-x-3)((3-x)^2+3(3-x)+3^2)=0\)\(\Rightarrow\)
\((-x)((3-x)^2+9-3x+9)=0\)\(\Rightarrow\)
\((-x)((3-x)^2-3x+18)=0\)\(\Rightarrow\)
\(-x=0\) ou \((3-x)^2+9-3x+9=0\) ce qui est impossible.

Donc :

\(S_\mathbb{R}=\{0\}\).

d) \(8x^3+4x^2=2x+1\) :

\(8x^3+4x^2=2x+1\) \(\Rightarrow\)
\(8x^3+4x^2-(2x+1)=0\) \(\Rightarrow\)
\(4x^2(2x+1)-(2x+1)=0\) \(\Rightarrow\)
\({\color{Red}{(4x^2-1)}}(2x+1)=0\) \(\Rightarrow\)
\({\color{Red}{(2^2x^2-1^2)}}(2x+1)=0\) \(\Rightarrow\)
\({\color{Red}{((2x)^2-1^2)}}(2x+1)=0\) \(\Rightarrow\)
\({\color{Red}{(2x-1)(2x+1)}}(2x+1)=0\) \(\Rightarrow\)

\((2x-1)(2x+1)^2=0\) \(\Rightarrow\)
\(2x-1=0\) ou \((2x+1)^2=0\) \(\Rightarrow\)
\(2x-1=0\) ou \(2x+1=0\) \(\Rightarrow\)
\(2x=1\) ou \(2x=-1\) \(\Rightarrow\)
\(x=\frac{1}{2}\) ou \(x=-\frac{1}{2}\).

Donc :

\(S_\mathbb{R}=\{\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\}\).

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