Correction - Exercice 14 page 193 - Fonctions linéaires

1ère année secondaire

Fonctions linéaires

Exercice 14 page 193

Soit le triangle $OAB$ rectangle en $A$, tels que $OA=40$ et $AB=9$.

Soit $C$ un point de la demi-droite $[OA)$ et $x=OC$.

La parallèle à $(AB)$ passant par $C$ coupe $(OB)$ en un point D. On pose $CD=y$ et $OD=z$.

1- Trouvons $OB$ :
D'après Pythagore  $OB^2=OA^2+AB^2=40^2+9^2=1600+81=1681$ d'où $OB=\sqrt{1681}=41$.

2- 
a) Donnons l'expression de $y$ en fonction de $x$ :
D'après Thalès $\frac{OA}{OC}=\frac{AB}{DC}$ alors $\frac{40}{x}=\frac{9}{y}$ d'où $40y=9x$ donc $y=\frac{9}{40}x$.

b) Donnons de deux manières, l'expression de $z$ en fonction de $x$ :
1) D'après Thalès $\frac{OB}{OD}=\frac{OA}{OC}$ alors $\frac{41}{z}=\frac{40}{x}$ d'où $41x=40z$ donc $z=\frac{41}{40}x$.

2) D'après Pythagore $OD^2=OC^2+CD^2$ d'où $z^2=x^2+y^2$ alors $z^2=x^2+(\frac{9}{40}x)^2=x^2+(\frac{9}{40})^2.x^2=\frac{1600}{1600}x^2+\frac{81}{1600}x^2=\frac{1681}{1600}x^2$ d'où $z=\frac{\sqrt{1681}}{\sqrt{1600}}x=\frac{41}{40}x$.

3- On note $a$ l'aire du triangle $OCD$.
a) Déterminons $a$ lorsque $x=1$
Lorsque $x=1$, $y=\frac{9}{40}\times 1=\frac{9}{40}cm$.
D'où $a=\frac{x\times y}{2}=\frac{1\times\frac{9}{40}}{2}=\frac{9}{40}\times\frac{1}{2}=\frac{9}{80}cm2$.

Déterminons $a$  lorsque $x=2$ :
Lorsque $x=2$, $y=\frac{9}{40}\times 2=\frac{9}{20}cm$.
D'où $a=\frac{x\times y}{2}=\frac{2\times\frac{9}{20}}{2}=\frac{9}{20}cm2$.

b) Cherchons si l'aire $a$ est une fonction linéaire de $x$ :
Soit $f$ la fonction tel que $f(1)=\frac{9}{80}$ d'où son coefficient directeur est égale à $\frac{\frac{9}{80}}{1}=\frac{9}{80}$, et par la suite $f(x)=\frac{9}{80}x$.

Soit $f'$ la fonction tel que $f'(2)=\frac{9}{20}$ d'où son coefficient directeur est égale à $\frac{\frac{9}{20}}{2}=\frac{9}{20}\times\frac{1}{2}=\frac{9}{40}$, et par la suite $f'(x)=\frac{9}{40}x$

Donc l'aire $a$ n'est pas une fonction linéaire de $x$ puisque le coefficient directeur de l'aire $a$ en fonction de $x$ n'est pas le même pour $x=1$ et $x=2$. Ou car $f(x)$ est diffèrent de $f'(x)$.

c) Déterminons $a$ en fonction de $x$ :
$a$ est l'aire du triangle $OCD$ donc $a=\frac{OC\times CD}{2}=\frac{x\times y}{2}=\frac{x\times \frac{9}{40}x}{2}=\frac{\frac{9}{40}x^2}{2}=\frac{9}{40}x^2\times\frac{1}{2}=\frac{9}{80}x^2$

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Cours - Fonctions linéaires

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