Correction - Exercice 10 page 47 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle

1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

Exercice 10 page 47

Soit un rectangle $ABCD$ et les points $E$ et $F$ appartenant respectivement aux segments $[AB]$ et [EC], $EB=ED=10cm$, $\widehat{CEB}=37°$ et $\widehat{BFE}=90°$.

1- Elaborons une stratégie de construction de cette figure.
D'abord on commence à construire $EBC$ rectangle en $B$ et tel que $\widehat{BEC}=37°$ et le point $F$ tel que $\widehat{BFE}=90°$ :

Ensuite on trace la parallèle à $EB$ passant par $C$ sur laquelle on marque le point $D$ tel que $EB=ED$ :

En fin on marque le point $A$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme :

2- Calculons $EF$, $BC$ et $sin~\widehat{AED}$.

On a : 

* $cos~37°=\frac{EF}{EB}$ d'où $EF=EB\times cos~37°=10\times 0,8=8 cm$.

* $tan~37°=\frac{BC}{EB}$ d'où $BC=EB\times tan~37°=10\times 0,75=7,5 cm$.

* $\widehat{AED}=\frac{AD}{ED}=\frac{7,5}{10}=0,75$.

3- Donnons une valeur approchée à $0,1$ près de l'aire du triangle $DEC$.

Cherchons $AE$ :
Le triangle $DEC$ est rectangle en $A$ et d'après Pythagore on a  $ED^2=AD^2+AE^2$.
D'où $AE^2=ED^2+AD^2=10^2+7,5^2=100-56,25=43.75$.
Donc : $AE=\sqrt{43.75}=6,61cm$.


Cherchons l'aire $A$ du triangle $DEC$ :

$A=\frac{DC\times EH}{2}$ et puisque $DC=AB$ et $EH=BC$ alors $A=\frac{AB\times BC}{2}=\frac{(AE+EB)\times 7,5}{2}=\frac{(6,61+10)\times 7,5}{2}=\frac{16,61\times 7,5}{2}==62,2875=62.3cm^2$.

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