Correction - Exercice 10 page 47 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle

1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

Exercice 10 page 47

Soit un rectangle \(ABCD\) et les points \(E\) et \(F\) appartenant respectivement aux segments \([AB]\) et [EC], \(EB=ED=10cm\), \(\widehat{CEB}=37°\) et \(\widehat{BFE}=90°\).

1- Elaborons une stratégie de construction de cette figure.
D'abord on commence à construire \(EBC\) rectangle en \(B\) et tel que \(\widehat{BEC}=37°\) et le point \(F\) tel que \(\widehat{BFE}=90°\) :

Ensuite on trace la parallèle à \(EB\) passant par \(C\) sur laquelle on marque le point \(D\) tel que \(EB=ED\) :

En fin on marque le point \(A\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme :

2- Calculons \(EF\), \(BC\) et \(sin~\widehat{AED}\).

On a : 

* \(cos~37°=\frac{EF}{EB}\) d'où \(EF=EB\times cos~37°=10\times 0,8=8 cm\).

* \(tan~37°=\frac{BC}{EB}\) d'où \(BC=EB\times tan~37°=10\times 0,75=7,5 cm\).

* \(\widehat{AED}=\frac{AD}{ED}=\frac{7,5}{10}=0,75\).

3- Donnons une valeur approchée à \(0,1\) près de l'aire du triangle \(DEC\).

Cherchons \(AE\) :
Le triangle \(DEC\) est rectangle en \(A\) et d'après Pythagore on a  \(ED^2=AD^2+AE^2\).
D'où \(AE^2=ED^2+AD^2=10^2+7,5^2=100-56,25=43.75\).
Donc : \(AE=\sqrt{43.75}=6,61cm\).


Cherchons l'aire \(A\) du triangle \(DEC\) :

\(A=\frac{DC\times EH}{2}\) et puisque \(DC=AB\) et \(EH=BC\) alors \(A=\frac{AB\times BC}{2}=\frac{(AE+EB)\times 7,5}{2}=\frac{(6,61+10)\times 7,5}{2}=\frac{16,61\times 7,5}{2}==62,2875=62.3cm^2\).

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