Correction - Exercice 16 page 182 - Activités algébriques
1ère année secondaire
Activités algébriques
Exercice 16 page 182
Soit \(φ\) le nombre d'or.
\(φ=\) \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).
1- Calculons \(φ-1\) et \(\frac{1}{φ}\) et comparons les.
* \(φ-1=\)\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) \(\Rightarrow\)
\(φ-1=\)\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)\(-1\) \(\Rightarrow\)
\(φ-1=\)\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)\(-\)\(\frac{2}{2}\) \(\Rightarrow\)
\(φ-1=\) \(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\) \(=0,618\).
* \(\frac{1}{φ}\)\(=\)\(\frac{1}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\) \(\Rightarrow\)
\(\frac{1}{φ}\)\(=\)\(\frac{2}{1+\sqrt{5}}\) \(=0,618\)
Donc \(φ-1=\)\(\frac{1}{φ}\)
2- En déduisons que \(φ^2=φ+1\).
On a \(φ-1=\)\(\frac{1}{φ}\) d'où \(φ(φ-1)=1\) alors \(φ^2-φ=1\) donc \(φ^2=φ+1\)
Calculons \(φ^2\).
\(φ^2=φ+1\) \(\Rightarrow\)
\(φ^2=\)\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)\(+1\) \(\Rightarrow\)
\(φ^2=\)\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)\(+\)\(\frac{2}{2}\) \(\Rightarrow\)
\(φ^2=\)\(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)
3- a) Montrons que pour tout entier naturel \(n\), \(φ^{n+2}=φ^{n+1}+φ^n\).
On a \(φ^2=φ+1\)
On multiplie les deux membres de l'égalité par \(φ^n\) :
\(φ^2\times φ^n=(φ+1) φ^n\) \(\Rightarrow\)
\(φ^{n+2}=φ\times φ^n+1\times φ^n\) \(\Rightarrow\)
\(φ^{n+2}=φ^{n +1}+φ^{n}\)
b) Calculons \(φ^3\), \(φ^4\) et \(φ^5\).
* \(φ^3=φ^{2}+φ^{1}\) \(\Rightarrow\)
\(φ^3=\)\(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)\(+\)\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) \(\Rightarrow\)
\(φ^3=\)\(\frac{4+2\sqrt{5}}{2}\) \(\Rightarrow\)
\(φ^3=\)\(2+2\sqrt{5}\)
* \(φ^4=φ^{3}+φ^{2}\) \(\Rightarrow\)
\(φ^4=\)\(2+2\sqrt{5}\)\(+\)\(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) \(\Rightarrow\)
\(φ^4=\)\(\frac{4+2\sqrt{5}}{2}\)\(+\)\(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) \(\Rightarrow\)
\(φ^4=\)\(\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\)
* \(φ^5=φ^{4}+φ^{3}\) \(\Rightarrow\)
\(φ^5=\)\(\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\)\(+\)\(2+2\sqrt{5}\) \(\Rightarrow\)
\(φ^5=\)\(\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\)\(+\)\(\frac{4+2\sqrt{5}}{2}\) \(\Rightarrow\)
\(φ^5=\)\(\frac{11+5\sqrt{5}}{2}\).
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